2022-2023学年河北省部分学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省部分学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将直线方程化为斜截式，即可求出直线的斜率.

【详解】解：直线即，所以直线的斜率为.

故选：C

2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆定义可直接求得结果.

【详解】由椭圆方程知：；

根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为.

故选：D.

3．倾斜角为的直线经过点和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得的值.

【详解】直线斜率，.

故选：C.

4．圆与圆的公切线共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.

【详解】圆即的圆心为，半径为；

圆的圆心为，半径为；

圆心距为，满足，

即两圆相交，所以公切线共有2条，

故选：B.

5．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）

A．5 B．1 C．1或17 D．17

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.

【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，

则，故，故或.

由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，

所以舍去.

故选：D.

6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先证明出，.以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.

【详解】由题意：,所以，所以.同理：.

所以可以以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则,,,.

所以，.

设异面直线与所成角为，则.

故选：A

7．方程表示的曲线为（    ）

A．圆

B．圆的上半部分

C．圆

D．圆的右半部分

【答案】B

【分析】将原方程左右平方可整理得到圆的方程，结合可得到结论.

【详解】由得：，整理得：；

又，，即，

方程表示的曲线为圆的上半部分.

故选：B.

8．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.

【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，

由题意知：，，，

作，垂足为，则为中点，

，，，

城市处于危险地区内的时长为.

故选：D.

二、多选题

9．已知双曲线，则（    ）

A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为

C．的虚轴长为 D．的离心率为

【答案】CD

【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为双曲线，则

则焦点坐标为，故A错误；

焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；

双曲线虚轴长为，故C正确；

离心率为，故D正确.

故选:CD.

10．如图，正四面体的棱长为是的中点，，，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量的运算对四个选项一一计算后，即可得到答案.

【详解】因为是的中点，所以.

又，所以，所以.

所以

.

故A错误，B正确；

因为，所以，

所以，

所以.故C正确；

.故D错误.

故选：BC

11．将两圆方程作差得到直线的方程，则（    ）

A．

B．直线一定过点

C．存在实数，使两圆圆心所在直线的斜率为

D．若，则过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

【答案】ABD

【分析】由圆方程得，可知，即可判断A；求出直线恒过的定点即可判断B；利用两圆圆心坐标求斜率进而判断C；设直线上一点，利用点到直线的距离公式和勾股定理化简计算即可判断D．

【详解】圆，即，则，

圆，即，

则，

其中，解得或，故A正确；

将两圆方程作差得到直线的方程：，

由，得，

由，解得，所以直线恒过定点，故B正确；

∵，∴，解得，与矛盾，不合题意，故C错误；

∵，， ，，

则圆心到直线的距离为，

圆心到直线的距离为，

又，得，即直线与圆相离，

，得，即直线与圆相离，

所以过直线上任一点可作两圆的切线．

在直线上任取一点，

设过点P作圆的切线的长为，作圆的切线的长为，

则，

，

所以，即，故D正确．

故选：ABD．

12．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ）

A． B．平面

C． D．平面

【答案】ABC

【分析】首先求出底面积，再根据棱柱的体积求出棱柱的高，依题意可得在底面的投影在上，设在底面的投影为，即可说明为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.

【详解】解：因为底面为边长为的菱形，且，所以四边形的面积为，

又平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为，

因为，所以在底面的投影在上，设在底面的投影为，

则，又，所以，又，

所以为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

所以，，，

，，

因为，所以、不平行，故A错误；

又，所以与不垂直，故B错误；

因为，所以与不垂直，故C错误；

设平面的法向量为，则，即，

不妨取，

所以，所以，

又平面，所以平面，故D正确；

故选：ABC

三、填空题

13．古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆离心率的一个可能值为___________.

【答案】，，，（任选一个即可）

【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率的求法可求得所有可能的取值.

【详解】由题意知：，，，

由“逼近法”原理可知，，

又，则或或或或或或或；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率.

综上所述：椭圆离心率所有可能的取值为，，，.

故答案为：，，，（任选一个即可）.

14．过点作圆的一条切线，切点为，则___________.

【答案】

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长可求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

，.

故答案为：.

15．圆，关于直线对称的圆的标准方程为___________.

【答案】

【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，设对称圆的圆心，利用和中点在上可构造方程组求得坐标，由此可得结果.

【详解】由圆方程可得：圆心，半径，

设圆心关于的对称点，则，解得：，即，

圆的标准方程为：.

故答案为：.

四、双空题

16．若空间中有三点，则到直线的距离为___________；点到平面的距离为___________.

【答案】         

【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离；利用公式去求到平面的距离

【详解】由可得

则，

又，则

则到直线的距离为

设平面的一个法向量为

则，即，

令，则，又

则点到平面的距离为

故答案为：；

五、解答题

17．（1）求两条平行直线与间的距离；

（2）若直线与直线平行，求的值.

【答案】(1)1;(2)

【分析】(1)利用两平行直线间的距离公式直接求解；(2)根据两直线平行的性质即可.

【详解】根据平行线间的距离公式,得.

若，不满足直线方程一般式的定义，所以，

因为两直线平行，所以，解得或，

经检验时，两直线重合，不满足题意，时，两直线平行，满足题意.

18．已知圆经过点.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点向圆作切线，求切线方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用待定系数法去求圆的标准方程；

（2）利用几何法去求过点的圆的切线方程即可解决.

【详解】（1）设圆的方程为

则，解之得

则圆的方程为

则圆的标准方程为

（2）圆的圆心，半径

当过点的直线斜率不存在时直线方程为，与圆相切，符合题意；

当过点的直线斜率存在时直线方程可设为

则，解之得，

则，整理得

故过点的圆的切线方程为或

19．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.

(1)证明：平面.

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；

（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，.

因为分别是的中点，所以,.所以

在长方体中，为平面的一个法向量.

因为，且平面，

所以平面.

（2）,.

设为平面的一个法向量，则，

不妨设，则.

设与平面所成角为，则.

即与平面所成角的正弦值为.

20．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，，，

设平面的法向量为，则，即，令则，

设平面的法向量为，则，即，令则，

因为，所以，

所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面的法向量为，

显然平面的法向量可以为，

所以，

所以，所以二面角的正弦值为.

21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.

(1)求椭圆的方程；

(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用的坐标，根据三点共线求出两点的坐标，根据面积公式即可求出点的坐标.

【详解】（1）因为离心率为,所以，即，

又因为，所以，

联立，解得，

所以过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为，

所以由 解得，所以椭圆的方程为.

（2）设

由（1）可知，,

因为共线，所以,即，解得，

又因为共线，所以,即，解得，

所以，

，

所以，

整理得，解得或（舍），

将代入椭圆方程得或（舍），

所以的坐标为.

22．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为.

(1)求的标准方程；

(2)直线与交于两点，点是的平分线上一动点，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆方程可得焦点坐标；利用点到直线距离公式可求得，结合椭圆之间关系即可求得双曲线方程；

（2）设中点为，由向量线性运算，结合等腰三角形三线合一性质可知，将直线方程与双曲线方程联立后，得到韦达定理的形式；由可构造方程求得，从而求得和；利用两点间距离公式表示出，，由，结合韦达定理可证得结论.

【详解】（1）由椭圆方程知：，则，，

到直线的距离，

，，

双曲线的标准方程为：.

（2）由（1）知：，

，与双曲线的左右半支各交于一点，

设，

设中点为，则，，

又为的角平分线，；

由得：，

，，

，，

，即，解得：，

，；

，

，

，，

.