2025-2026学年度人教版七年级数学下期中质量检测卷（二）（解析版）.zip

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考试范围：19-21章；考试时间：120分钟；满分120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．
【详解】代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
2．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可．
【详解】解：令该正多边形为边形，
由正多边形内角公式得，
解得，
故该正多边形的边数为．
3．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5B．7，8，9C．6，8，10D．5，12，11
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数．
根据勾股数的定义逐项验证即可解答．
【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
B．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
C．，符合勾股数的定义，符合题意；
D．，不符合勾股数的定义，不符合题意．
故选C．
4．已知等式成立，则的值为（ ）
A．5B．C．D．8
【答案】B
【分析】利用完全平方公式展开等式右边，得到，再根据等式两边有理部分和无理部分对应相等列方程求解，即可得到的值．
【详解】∵，
∵ 等式成立，等式两边有理部分和无理部分对应相等，
∴ 可得，
解得，，
将代入第一个方程验证：，等式成立
∴．
5．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，平行线之间距离处处相等，30度角的直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得，以及运用勾股定理列式计算，得，即可作答．
【详解】解：过点作于点T，如图所示：
依题意，，，
∴，，
∴，
∵将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，
∴
∴
故选：C
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里B．32.5平方里C．60平方里D．65平方里
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积．
先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积．
【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．
，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故选：A．
7．已知，那么可化简为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解：，，
，
原式，
故选：C．
8．如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案．
【详解】解：连接，取的中点F，连接，
∵点M，N，F分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，．
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，得．
9．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项．
【详解】解：∵已知，
对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意；
对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意；
对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意；
对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意；
综上，选项A错误．
10．如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，，垂足分别为，，则，证明四边形是矩形，则，由题意得，求得，在中，通过勾股定理得，由折叠性质知，所以，则，设，则，，再通过得，即，求出的值即可．
【详解】解：作，，垂足分别为，，则，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意得，
∴，
在中，，
∵，
∴，
由折叠性质知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴的长为．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
设，根据题意及题中图形，得到相关边的长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由题意可得，，，
设，
则，
，
在中，，，，，则由勾股定理可得，
即，
，
则钟摆的长度为，
故答案为：．
12．计算：___．
【答案】
【分析】先将原式中的化为最简二次根式，合并括号内的同类二次根式，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
13．如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________．
【答案】
【分析】算出正五边形的每个内角的度数，用360减去3个内角的度数和即可．
【详解】解：∵正五边形每个内角是，
∴空余的角度．
14．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____．
【答案】
【分析】先由平行四边形性质得，再由折叠得；结合共线得，为直角三角形；在中，由得，故，最后由平行四边形对边相等得．
【详解】解：∵在平行四边形中，对边相等，
∴
∵沿折叠得到，
∴；
∵点在的延长线上，共线，，
∴，即是直角三角形，
在中，，
∴，
根据角所对直角边是斜边的一半，
∴斜边
∵，
∴．
15．如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____．
【答案】或
【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，分两种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作的垂线，交于点，容易证明，四边形为矩形，结合，即可求得的数值；（Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，容易证明，，可得，即可求得的数值．
【详解】（Ⅰ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，
设，则，
因为平分，
所以，
又因为，，
所以，
所以，，
因为，，
所以，
又因为，
所以四边形为矩形，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以
所以，
所以，
（Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，
设，则，
同（Ⅰ）可证得，
所以，，
因为，，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
综上所述，或．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算步骤，推理过程）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，进行计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（7分）如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形；
（2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
设，
∵，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴．
18．（8分）项目学习
项目背景：“牙膏”是大家非常熟悉的日常生活用品．在手工制作课上，老师围绕“制作的长方体牙膏盒是否能装下牙膏”让同学们展开讨论，形成了如下的活动报告．
根据表格中的数据，说明数学活动小组制作的牙膏盒是否能装下牙膏．
【答案】数学活动小组制作的牙膏盒不能装牙膏，理由见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，根据题意得出牙膏盒的底面对角线长与比较大小，即可求解．
【详解】解：牙膏盒的底面对角线长为，，
∴
∴数学活动小组制作的牙膏盒能装下牙膏．
19．(8分)如图，平行四边形两条对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，连接，使，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)12．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，证明，得到，则可得到，据此可证明四边形是平行四边形．
（2）由平行四边形的性质得到，再由勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵是平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长．
(2)计算喷泉到小路的最短距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求出，得到，再用勾股定理求出，即可解决；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）在中，，
．
在中，，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长．
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握其性质是解题的关键．
21．（9分）阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)B
(2)86
(3)17
【分析】（1）根据转化思想解答即可；
（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；
（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．
【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；
（2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
；
（3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式．
．
22．（12分）综合与探究
课本再现：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：D，E分别是的边的中点；
求证：，且；
知识应用
（2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点．
求证：四边形是平行四边形．
②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明和应用，等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键；
（1）延长至F，使，连接，如图，先证明，再根据全等三角形的性质证明四边形是平行四边形，得到，进一步即可得到结论；
（2）①连接，根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定定理证明即可；
②先根据三角形的中位线定理证明，进而可得，可得，作于点G，如图，再求出即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：延长至F，使，连接，如图，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，且；
（2）①证明：连接，如图，
∵F，G分别是边的中点，
∴，
∵E，H分别是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点G，如图，
则，，
∴，
∴，
∴的周长为，面积为
故答案为：；．
23．（13分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，，是的角平分线．
初步分析：（1）求线段的长；
深入探究：（2）如图2，将从图1的位置开始沿方向平移得到，当点的对应点落在边上，求平移的距离；
拓展延伸：（3）将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别是点，），旋转角为．在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使点到，两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点到直线的距离；若不存在，说明理由．
【答案】（1）的长为；（2）平移的距离为；（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或
【分析】（1）过点作于点，利用勾股定理，求出的值，利用角平分线的性质，得，设，通过构建一元一次方程，解方程即可求解；
（2）连接，利用平移的性质推得、，设，根据构建一元一次方程，解方程，即可求解．
（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，需分类讨论：当绕点顺时针旋转，得到，过点作于点，过点作于点，①通过等腰三角形的性质“三线合一”得，利用矩形的性质，推得，结合勾股定理求出的值，通过即可求解；②同理可得第二种情况的，通过即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
在中，，且，，
，
是的角平分线，且，，
，
，
设，则，
，，
，解得：．
．
（2）如图，连接，
沿方向平移得到，
根据平移的性质，得：，，
，
，
由（1）得：，，且，
设，，
，
，
，解得：．
平移的距离为．
（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，理由如下：
①如图，当绕点顺时针旋转，得到，
过点作于点，过点作于点，
由（2）得：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
绕点顺时针旋转，得到，
，
在中，，
，
；
②如图，当绕点顺时针旋转，得到，
过点作于点，过点作于点，
由（2）得：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
绕点顺时针旋转，得到，
，
在中，，
，
．
综上所述，存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，解一元一次方程，平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，理解题意、分类讨论是解题关键．
项目主题
制作长方体的牙膏盒
驱动任务
判断制作的牙膏盒是否能装下牙膏
活动内容
利用勾股定理等知识进行计算与比较
活动过程
方案说明：
1．图1为某种牙膏的实物图，图2为这种牙膏的平面示意图，其上部为一个圆柱，下部底边可近似看成一条线段，牙膏的上部与下部相连成一个整体；
2．如图3，数学活动小组制作的牙膏盒是长方体，长方体的上、下面是正方形，侧面是长方形，且制作的牙膏盒的高与牙膏的高相等．
数据测量：
1．牙膏盒的底面是一个正方形，正方形的边长为；
2．牙膏上部的直径为，牙膏下部的底边是一条长为的线段．
计算：……
交流展示
……
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：
探究：例题：已知，求的值．
解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
．
应用：……
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．