三点共线问题、四点共圆问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份三点共线问题、四点共圆问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（2026·江西赣州·二模）已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N．
（ⅰ）求证：G、M、N三点共线；
（ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围．
例2．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知为坐标原点，点为和的公共点，，与直线相切．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设动点到定点的距离为定值，动点的轨迹上有四个点满足：，，设中点为，与交点为．
（i）证明、、三点共线，并求直线的斜率；
（ii）求面积的最大值．
例3．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知双曲线：一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的2倍，且左顶点到直线的距离为，其中.
(1)求的方程.
(2)过双曲线的右焦点作斜率为（）的直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，在轴上是否存在定点，使，，三点共线？若存在.求出实数的值；若不存在，请说明理由.
变式1．（25-26高二下·贵州·月考）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段PD，垂足为，点在线段DP的延长线上，且，当点在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求曲线的方程；
(2)设点在曲线上，且MQ与轴平行，过点作两条直线分别交曲线于点两点，设线段AB的中点为，若直线MQ平分，求证：三点共线．
变式2．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知双曲线E：的实轴长为2，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线E的下顶点，过点且斜率不为0的直线交双曲线E上支于、两点，直线、与直线的交点分别为、，线段、的中点分别为、，点为坐标原点.
（i）求直线斜率的取值范围；
（ii）若、、三点共线，求的值.
变式3．（2026·山西晋城·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点的动直线与交于另一点，过点且与AB平行的直线与交于两点，直线AB与PQ不重合．
(1)当点在直线AB上时，求；
(2)记AB的中点为的中点为，坐标原点为，证明：三点共线．
考点二 四点共圆问题
例1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的值；
(3)证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.
例2．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图，已知三棱锥中，D为上一点且，、、的周长均为，为中点.
(1)当时，求三棱锥体积的最大值；
(2)若点M，N满足，且的周长也为.
（i）求的面积；
（ii）求证：B，C，M，N四点共圆.
例3．（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为．
类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等．
点、所在曲线分别记为、．
(1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程；
(2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆．
变式1．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知抛物线与直线相交于，两点（在左侧），给定点、在抛物线上．
(1)用表示；
(2)若，，，四点共圆，求实数的值；
(3)在（2）的条件下，求过，，，四点的圆的方程．
变式2．（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求；
(3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：.
变式3．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知直线交抛物线于两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆．考点目录
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