2026郴州重点校联考高二下学期4月阶段测数学试题（B）含解析

这是一份2026郴州重点校联考高二下学期4月阶段测数学试题（B）含解析，文件包含专题01实数计算题专项训练数学沪科版新教材七年级下册解析版pdf、专题01实数计算题专项训练数学沪科版新教材七年级下册试题版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ．
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法先算出复数，然后由模长公式求解.
【详解】 ，则 ，
则 .
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别解题中两个不等式，根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】由 ，解得 ；由 ，解得 ；
因为 是 的真子集，
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可知“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
4. 若函数 是奇函数，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数得 ，解出 ，根据奇函数的定义验证即可求解.
【详解】因为函数 是奇函数，定义域为 ，所以 ，所以 ，
解得 ．当 时，验证得 是奇函数．
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递增， ，则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解.
【详解】由函数 是定义在 上的偶函数，得 ，即函数 的图象关
于直线 对称，
由函数 在 上单调递增，得函数 在 上单调递减，
且 ，则当 或 时， ；当 时， ，
不等式 等价于 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
所以 的解集为 .
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6. 展开式中含 项的系数为（ ）
A. 24 B. C. 48 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】 的展开式的通项为 ，
由 ，得 ，所以 的展开式中 项的系数是 ．
7. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系及两角和与差的余弦公式求解即可.
【详解】由题意得 ，所以 ，
即 ，又 ，
所以 ， ，所以 ．
8. 已知双曲线 的右焦点为 F，直线 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，且
，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】设 ，则 ，由 得 代入双曲线方程即可求解.
【详解】设 ，则 ，其中 ，由 得 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，将 代入 得 ，
又 ，所以 ，整理得 ，
两边同除以 ，整理得 ，解得 ，
.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 数据 2，3，5，7，10 的上四分位数为 7
B. 若事件 A，B 相互独立，则
C. 若数据 的方差为 5，则数据 的方差为 20
D. 将数字 1，3，6，8，5 随机排列成五位数，该五位数是偶数的概率为 20%
【答案】AC
【解析】
【分析】A：根据上四分位数的定义求解即可；B：根据独立事件及条件概率计算即可；C：根据方差的性
质计算即可；D：根据古典概型的概率计算即可.
【详解】对于 A， ，故该组数据的上四分位数为 7，A 正确；
对于 B，若事件 相互独立，则 ，而 与 不一定相
等，故 B 错误；
对于 C，将数据 同时乘以 2 得数据 ，则方差变为原来的 4 倍，即 20，C 正确；
对于 D，排列成的五位数个位数字为 6 或 8 的概率为 ，故该五位数是偶数的概率为 ，D 错误．
10. 如图，在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 ．下
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列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线 与 异面
C. 直线 与 异面
D. 平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线线垂直、异面直线的定义即可判断 ABC，根据线面平行的判定定理即可判断 D.
【详解】对于 A，由题干条件不能确定垂直关系，A 错误；
对于 B：结合图形,由异面直线定义知直线 与 异面，B 正确；
对于 CD，取 的中点 ，且 是 的中点，所以 且 ，
取 的四等分点 ，使 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
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所以 ，且 平面 ， 平面 ， 与 相交，
所以 平面 ，直线 与 异面，故 CD 正确．
11. 已知 均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是 2
B. 若 ，则 的最小值为 8
C. 若 ，则 的最小值为 16
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判定 ABC，设 ，利用导数研究单调性得 ，进而利用基
本不等式即可判定 D.
【详解】对于 A： ，当且仅当 时取等号，但
不成立，故 A 错误；
对于 B：x，y 均为正实数，满足 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ，同理 ，
，
当且仅当 时取等号（此时 ），所以 的最小值为 8，故 B 正确；
对于 C：因为 ， ， ，所以
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，
当 时，即 ，即 ， 时等号成立，所以 的最小值为 16，故 C 正确；
对于 D：由题意可得 ，
设 ，则 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，且 ，
由 的单调性可得 ， ，
则 ，又因为 ，则有
，
当且仅当 时等号成立，即 因此 的最小值为 ，故 D 正确．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由等比数列的性质结合题意可得 ，再由等比数列的性质化简计算式可得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 可得：
，
若 ，又 ，则 ，这与 矛盾；
所以 ，而 ，从而 ．
13. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则实数
________．
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【答案】2 或 4
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可得切线为 ，分析可知方程 有唯一解，进而
可得结果.
【详解】因为 ，则 ，当 时， ，
则曲线 在点 处的切线为 ，
令 ，可得 ，
因为切线 与曲线 只有一个公共点，
即方程 有唯一解，
则 ，解得 或 ．
14. 一个袋子里有大小和质地相同的 5 个球，标号为 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取 1 个
球，共取 5 次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有 4 个不相同的数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解.
【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有 5 种不同取法，总取法有 种，
而这列数中恰有 4 个不相同的数的取法有 种，
故这列数中恰有 4 个不相同的数的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验
的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同．
（1）若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？
（2）求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【详解】（1）甲被安排两天值班有 种情况，
无论甲如何安排，乙都有 种情况使得两人恰有一天共同值班，
甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有 种．
（2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件 ，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件 ．被安排三天值
班的情况有 种，
则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有
种，
无论甲如何安排，乙都有 种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班，
故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有 种，
所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为
．
16. 记 为等差数列 的前 n 项和， 且 ．记 为数列 的前 n 项和，且
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）数列 的前 n 项和为 ，若对任意正整数 n，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ．
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 d，根据已知解出基本量 ，进而得 ，利用
即可求 ；
（2）利用错位相减法求出 ，进而分离参数求解取值范围即可.
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【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 d，
由 ，得 ，整理得 ，
由 ，得 ，即 ，即 ，
解得 ， ，则 ，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ， ，
所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
而 ，①
且 ，②
① ②得 ，
，则 ，
因为 ， ，所以 ，
因为对任意正整数 ，都有 恒成立，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面是直角梯形 ， ， ， ，
， ， ， 为正三角形．
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）设点 是三棱锥 外接球的球心，求该外接球的半径；
（3）在第（2）问的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可.
（2）取 的中点 ，结合 为直角三角形，得到 平面 .建立空间直角坐标系，设出点
坐标，利用 即可求出点 坐标及外接球半径.
（3）求出平面 的法向量，根据线面角的向量求法求解即可.
【小问 1 详解】
证明：设 为 的中点，连接 ， ， ，
在 中， .
又 ，所以 为正三角形，所以 .
又 为正三角形，则 ， .
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又 ， ，所以 .
又 平面 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
取 的中点 ，则 .
在 中， 外接圆的圆心为 的中点 ，连接 ，则 平面 ，
设 ，
则外接球的半径 ，即 ，
解得 ，所以 ， .
故三棱锥 外接球的半径 ．
【小问 3 详解】
由（2）得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
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则 ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 如图，已知椭圆 C： 的离心率为 ，椭圆过点 ，E 为定点 ．
（1）求 C 的标准方程；
（2）过点 P 的直线交 C 于另一点 B，且 的面积为 1，求直线 BP 的方程；
（3）若 F 为椭圆的右焦点，直线 l 与 C 交于 M，N 两点（M，N 均不在长轴上），且总有 平分
．求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2） 或 ．
（3）证明见解析，直线 l 恒过定点 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，解出 即可求解；
（2）先讨论直线 的斜率是否存在，当直线 BP 的斜率存在时，设斜率为 k，则直线 BP 方程为
，与椭圆方程联立，根据 的面积为 1，列方程求出 即可；
（3）设点 ， ，计算 ，由 平分 ，利用向量的夹角公式即可得证
.
【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 ， ，
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椭圆 C 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
当直线 BP 的斜率不存在时，此时点 ， ，不满足题意，（舍去）；
当直线 BP 的斜率存在时，设斜率为 k， ，则直线 BP 方程为 ，即
，
联立 ，得 ，
则 ，所以 ．
所以 ，
又点 E 到直线 BP 的距离 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
故直线 BP 的方程为 或 ；
【小问 3 详解】
设点 ， ，易知 ， ， ，
， ，
同理可得 ，
由题意得 ，即 ，
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两边同时减 2 得 ，即 ，
则点 M，N 和点 三点共线，
故直线 l 恒过定点 ．
19. 丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了
很多宝贵的成果．若 为 上任意 n 个实数，满足
，当且仅当 时等号成立，则称函数
在 上为“凸函数”．也可设可导函数 在 上的导函数为 ， 在 上的
导函数为 ，当 时，函数 在 上为“凸函数”．若 为 上任意 n 个
实数，满足 ，当且仅当 时等号成立，
则称函数 在 上为“凹函数”．可设可导函数 在 上的导函数为 ， 在
上的导函数为 ，当 时，函数 在 上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不
等式即为著名的琴生不等式．
（1）证明：函数 在 上为“凹函数”；
（2）已知正实数 a，b，c 满足 ，求证： ；
（3）一般形式的柯西不等式：设 ， 是实数，则
，当且仅当 或存在
一个实数 k，使得 时，等号成立．设 均为大于 0 的实数，且
，求证：
．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
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【解析】
【分析】（1）求 ，根据 的正负即可得证；
（2）由（1）利用 的凹凸性即可得证；
（3）构造函数 ，判断 的凹凸性，利用凹凸性即可得证.
【小问 1 详解】
， ，
， ，
当 时， ，故 ，
由“凹函数”的定义可得，函数 在 上为“凹函数”；
【小问 2 详解】
由正实数 a，b，c 满足 ，可得 ，
满足（1）中函数 的定义域，
由（1）知 在 上为“凹函数”，
对 n=3，根据“凹函数”的琴生不等式： ．
令 ， ， ，代入得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立；
【小问 3 详解】
构造单变量函数 ，
则 ，
，
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当 时， ，故 ，且 ， ，
因此 ，即函数 在 上为“凸函数”，
根据“凸函数”的琴生不等式，
对任意 ，有 ，
两边同乘 n，变形为 ，①，
又 ，
由柯西不等式有
即 ，
化简可得 ，②
由 ，
当 时， ，因此 在 上单调递增，
由结论②： ，
结合 的单调性得 ，③，
将结论③代入不等式①，得 ，
故不等式 得证．
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