湖南省株洲市部分校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省株洲市部分校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测数学试题（Word版附解析），共6页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的定义计算即可.
【详解】 .
2. 若 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 得 .
3. 已知向量 满足 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据向量的坐标运算求 和 ，结合投影向量的定义运算求解.
【详解】由题意 ， ，
所以 在 上的投影向量为 .
4. 设等比数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A. 18 B. 21 C. 63 D. 64
【答案】B
【解析】
【详解】当 ， ，
又 ， .
5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有 的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有 50 颗以
上麦粒的概率为 0.5，若在该块农田种出的小麦中，有 的麦穗含有 50 颗以上麦粒，则二等小麦种子结
出的麦穗每穗含有 50 颗以上的麦粒的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有 颗以上的麦粒”的概率为 ，麦穗含有 颗以上麦粒
为事件 ，种子为一等种子为事件 ，种子为二等种子为事件
根据题目条件可知， ， ， ，
根据全概率公式 ，可得
，解得 .
6. 已知圆锥的底面半径为 ，且此圆锥的内切球体积为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】作出轴截面，利用等面积结合勾股定理求出母线长即可得解.
【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形，
记内切球的半径为 ，圆锥的母线长为 ，高为 ，
由题知 ，解得 ，
由三角形面积公式可得 ，即 ①，
又 ②，联立①②解得 ，
故圆锥的侧面积 .
7. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. -2
【答案】D
【解析】
【详解】由 ， ，得 .
.
.
8. 是函数 的极值点，则 a 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【详解】求导得： ，
因为 是极值点，所以 ，
即 ，
代入 得 ，
在 左右导数符号改变，确实是极值点，符合条件，
因此 的值为 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 AC，利用赋值法求二项式系数即可；对于 B，根据二项展开式求特定项系数；对于 D，先求
导，再赋值计算．
【详解】解：令 ，
，故 A 正确；
根据二项展开式可知
，故 B 正确；
，
，故 C 错误；
，故 D 错误．
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10. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ， 是 上异于 ，
的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 和 的斜率之积为定值
B. 的最小值为-1
C. 若 的面积为 5，则
D. 若 的角平分线与 轴交于点 ，则 内切圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【详解】由题可得 ， ， ， .
设 ，则 ， ，A 正确；
， ， ，B 不正确；
若 的面积为 5，则 ，
根据对称性，不妨令 位于第一象限，可得 ，
则 ， ， ，
由 ，得 ，C 正确；
由点 可得 ， ，因为 平分 ，所以 ；
又 ，所以 ， ，
在 中，以 为底，点 到 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
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设 内切圆的半径为 ，则 ，解得 ，D 正确.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 在 处的切线与直线 垂直
B. 若点 P 是曲线 上的动点，则点 P 到直线 距离的最小值为
C. 曲线 的切线的倾斜角取值范围是
D. 若过点 可以作曲线 的三条切线，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项 A，先求 处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为 的性质进行判
断；对于选项 B，先令 等于直线 的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项 C
，先分析 的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选
项 D，设切点坐标，写出切线方程，将点 代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实
根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定 的范围
【详解】对 A， 处切线斜率 ，直线 的斜率为 ，两斜率乘积
，故两直线垂直，A 正确
对 B，点 到直线 的最小距离，出现在曲线切线与 平行时，即切线斜率等于 ，
令 ，得 ，整理为 ，函数 在 上单调递增，仅有解 ，对
应切点为
切点到 的距离为： ，即最小距离为 ，B 正确
对 C，设切线倾斜角为 ，则
令 ，求导得 ， 时 ， 单调递减；
时 ， 单调递增，
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所以 在 处取最小值 ，故
而 ，因此倾斜角范围不是 ，C 错误
对于 D：设过点 的切线切点为 ，则 ，整理得 ，
若过点 可以作曲线 的三条切线，则函数 与函数 有三个交点，
对函数 ，
当 时 ，函数 单调递减；
当 时 ，函数 单调递增；
当 时 ，函数 单调递减.
又当 时， ；当 时， ； 时， ； 时， ，
所以函数 的图象大致如下：
则当 时，函数 与函数 有三个交点，
此时过点 可以作曲线 的三条切线，D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， ， ，则 的面积
为______.
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【答案】
【解析】
【详解】由余弦定理可得， ，
因为 ，所以 ，
故 的面积为 .
13. 的展开式中的常数项为________．
【答案】70
【解析】
【详解】 .要求原式的常数项，等价于求 展开式中 项的
系数.
的通项公式 ，令 ，得 ，
因此 项的系数 ，即原展开式的常数项为 .
14. 在棱长为 10 的正方体 中， 是 中点，点 在正方体的内切球的球面上运动，
且 ，则点 的轨迹长度为_______.
【答案】
【解析】
【详解】以 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为 ，
则 ， ， ，
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，设 ， ，
由 ，得 ，即 ，化简得 .
正方体内切球球心为正方体中心 ，半径 ，
点 满足 .
设球心 在平面 的投影为 ，
则在 平面上 到直线 的距离 .
即球心 到轨迹所在平面距离为 ,则轨迹圆半径 .
轨迹长度为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可．
【小问 1 详解】
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在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
得到 ，故 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，因为 ，所以 ， ，
设 边上的高为 h，则 ，可得 ，
故 边上的高为 ．
16. 已知数列 满足 ， ， ．
（1）求证： 是等比数列．
（2）记 ，求数列 及 的通项公式；
（3）设 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义求证；
（2）结合（1）求出 的通项公式，再利用 求出 为等比数列，利用等比数列的
通项公式即可；
（3）利用错位相减法求出.
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【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
由以上递推关系可知， ，则 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列；
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，
因为 ，所以由以上递推关系可知， ，则 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ， ；
【小问 3 详解】
由（2）可知， ，则 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，
则
，
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则 .
17. 如图，已知四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，设平面 与平面 的交线
为直线 .
（1）证明： ；
（2） ，点 在直线 上.
（i）若 ，且点 均在球 的球面上，证明：点 在球 的球面上；
（ii）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii） 或
【解析】
【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明；
（2）（i）建立空间直角坐标系 ，根据 ，得 ，设球 的球心 ，根据
得球心 ，半径为 ，验证 即可；
（ii）设 ，平面 的法向量为 ，利用线面角的向量法求解.
【小问 1 详解】
在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
【小问 2 详解】
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以点 为原点， 为 轴，
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
（i）因为点 在直线 上，
设 ，因为 ，则 ，即 ，
设点 所在球 的球心 ，
则 ，
即 ，
解得 ，即球心 ，半径为 ，
又 ，
所以点 在球 的球面上；
（ii）设 ，且 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
可取 ，记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 或 ，
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所以 的长为 或 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点 T 是椭圆 C
上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 P 作椭圆 C 的两条切线 ， ，过点 T 作椭圆 C 的切线 l，l 与 ， 的交点分别为 M，N，
（ⅰ）求切线 ， 的方程：
（ⅱ）问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ， ；（ⅱ） 为定值，定值为 90°.
【解析】
【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；
（2）（i）设过点 P 的直线方程为 ，联立椭圆并结合相切关系得 求直线的斜率，即可
得；（ii）利用相切关系求得 ，结合（2）所得 ， 求交点坐标，再应用向量数量积的坐标
运算求得 ，即可得.
【小问 1 详解】
由题意得 ， ，解得 ， ，所以椭圆 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由题意，设过点 P 的直线方程为 ，联立 ，
消去 y 并整理得 ，
由 ，即 ，解得 ， .
所以切线方程分别为 ， .
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（ⅱ）设 且 ，则 且 ，联立 ，
所以 ，则 ，
由相切关系知 ，则 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
所以 ，即 ，
由 ，联立直线 得 ，则 ，
由 ，联立直线 得 ， ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 为定值，且定值为 90°.
19. 已知函数 ，其中 a 为常数.
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 a 的取值范围；
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（3）设 ，求证：当 时， .
【答案】（1）函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数 的单调区间；
（2）根据题意分析可知 ，利用导数分析可知 在 内单调递减，结合恒成立问题运算求解
即可；
（ 3） 令 ， 利 用 导 数 分 析 的 单 调 性 可 得 ， 结 合
，可得 ，即可得结果.
【小问 1 详解】
当 时，则 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
因为 ，
若 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，不合题意，所以 ，
因为 ，
且 ，则 ， ，则 ，
可知 在 内单调递减，则 ，
可得 ，解得 ，
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所以实数 a 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
令 ，
则 ，
因为 ， ，则 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
即 ，所以当 时， .
第 17页/共 17页