湖南省郴州市2024-2025学年高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1+i)z=1，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 1B. 22C. 2D. 2
2.在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为v=(1, 33)，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为( )
A. 194B. 240C. 388D. 480
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a6=5，则S11=( )
A. 55B. 50C. 100D. 58
5.曲线y=f(x)=2x2−x在x=1处的切线方程为( )
A. x+y−2=0B. x+y−4=0C. 3x−y−2=0D. 3x+y−4=0
6.已知圆C：x2+y2−6x−8y+16=0与过点P(2,3)的直线l交于A，B两点，则弦AB的长度的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 7D. 2 7
7.2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没⋅重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为( )
A. 310B. 35C. 72625D. 72125
8.过椭圆x216+y212=1上一点P，分别向圆C1：(x+2)2+y2=34和圆C2：(x−2)2+y2=14作切线，切点分别为M，N，则(PM+PN)⋅NM的最小值为( )
A. −672B. −652C. −632D. −612
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=12sin2x+ 32cs2x，则下列说法正确的有( )
A. 若f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值为π2
B. 函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
C. 存在θ∈(0,π2)，使得f(x+θ)为偶函数
D. 函数y=f(x)在区间[0,π4]上的值域与y=sinx在区间[0,π3]上的值域相同
10.已知A，B为随机事件，P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论正确的有( )
A. 若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=0.9 B. 若A，B为互斥事件，则P(A−∪B−)=0.1
C. 若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.72 D. 若P(B|A)=0.3，则P(B|A−)=0.3
11.已知数列{an}满足an+2=2 5an+1−5an，且a1=1，a2=2 5，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A. a4=20 5B. {an+1− 5an}是等比数列
C. n≥5时，Sn> 5anD. 不存在n∈N∗，使得8Sn3+ 5为整数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x−4x2)3的展开式中常数项为______．
13.已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，则D(2X+1)= ______．
14.已知对于任意的x∈R，存在k>0，使得不等式xex+m≥k(x−1)恒成立，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S5=25，且a2，a5，a14成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an+bn}是公比为2的等比数列，且b3=3，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且PD=2 2，M为PD的中点．
(1)求证：PB//平面ACM；
(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办.庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米.游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．
(1)若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望；
(2)为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表：
以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=a(ex+a)−x−2．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，已知曲线C1：y2=4x，曲线C2：x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别是F1，F2，且F2是曲线C1的焦点，点P是C1与C2在第一象限内的公共点且|PF2|=52，过F2的直线l分别与曲线C1和C2交于点A，B和M，N．
(1)求点P的坐标及曲线C2的方程；
(2)若△F1AB与△F1MN面积分别是S1，S2，求S1−S2的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2=12−12i，
则|z|= (12)2+(12)2= 22．
故选：B．
应用复数的除法及乘法公式计算化简，再结合模长公式计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由直线的方向向量定义可知，直线l的方向向量为v=(1, 33)，
故直线l的斜率为k= 33，故直线l的倾斜角为π3．
故选：B．
由直线的方向向量定义得到直线l的斜率，进而求解结论．
本题主要考查方向向量的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，
所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，
与剩下3名学生进行排列有A55种排法，
又男生甲与女生乙之间有A22种排法，男生丙与女生丁之间有A22种排法，
所以符合条件的排法种数为A55A22A22=480．
故选：D．
根据相邻问题捆绑法进行求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，S11=11(a1+a11)2=11(a6+a6)2=11a6=66．
故选：A．
根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解．
本题主要考查等差数列前n项和的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=2x2−x，所以f′(x)=4x−1，
所以f(1)=1，f′(1)=3，
所以所求切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．
故选：C．
求导，再根据导数的几何意义即可得解．
本题考查函数的切线问题的求解，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：圆C：x2+y2−6x−8y+16=0
则圆的方程可化为(x−3)2+(y−4)2=9，圆心坐标为C(3,4)，半径r=3，
设圆心到直线的距离为d，
则过P(2,3)的直线与圆的相交弦长|AB|=2 r2−d2，
当直线与CP所在直线垂直时，d最大，此时d=|CP|= (2−3)2+(3−4)2= 2，
当d最大时，|AB|最小，
所以最小的弦长|AB|=2 32−( 2)2=2 7．
故选：D．
记圆心为C，由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过P(2,3)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可．
本题主要考查圆内弦长的求解，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，4名同学去观看五部电影中的一部，
则每位同学都有5种选择，则四位同学一共有5×5×5×5=54种方案，
若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影，
分2种情况讨论：
①有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有C31A42种方案，
②只有小罗看《哪吒之魔童闹海》电影，则有C32A42种方案，
则符合题意的观看方案有C31A42+C32A42种，
故要求概率P=C31A42+C32A4254=72625．
故选：C．
首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得．
本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：过椭圆x216+y212=1上一点P，分别向圆C1：(x+2)2+y2=34和圆C2：(x−2)2+y2=14作切线，切点分别为M，N，
由x216+y212=1，可得a2=16，b2=12，所以a=4，c= 16−12=2，
由C1：(x+2)2+y2=34，可得C1(−2,0)，半径为r1= 32，
由C2：(x−2)2+y2=14，可得C2(2,0)，半径为r2=12，
由椭圆的定义|PC1|+|PC2|=2a=8，设|PC1|=t，
则a−c≤t≤a+c，则2≤t≤6，则|PC2|=8−t，
所以(PM+PN)⋅NM=(PM+PN)⋅(PM−PN)=PM2−PN2
=t2−34−(8−t)2+14=16t−64−12≥−652．
故选：B．
由已知可得(PM+PN)⋅NM=PM2−PN2，设|PC1|=t，则2≤t≤6，则|PC2|=8−t，进而可得PM2−PN2=16t−64−12，可求最小值．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意可得函数f(x)=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
对于A，令f(x)=sin(2x+π3)=0，可得2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=−π6+kπ2,k∈Z，
可得|x1−x2|min=π2，故A正确；
对于B，函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得y=sin(2x+π6)，
因为sin(2×0+π6)=12≠0，所以平移后的函数图象不关于原点对称，故B错误；
对于C，要使f(x+θ)=sin(2x+2θ+π3)为偶函数，
则2θ+π3=π2+kπ，k∈Z，
又θ∈(0,π2)，
可得θ=π12，
所以存在θ∈(0,π2)，使得f(x+θ)为偶函数，故C正确；
对于D，由x∈[0,π4]，可得2x+π3∈[π3,5π6]，可得f(x)=sin(2x+π3)∈[12,1]，
由x∈[0,π3]，可得y=sinx∈[0, 32]，故D错误．
故选：AC．
先利用辅助角公式化简，根据平移变换的原则结合正弦函数的对称性即可判断B；根据诱导公式结合三角函数的奇偶性即可判断C；分别求出两个函数的值域即可判断D．
本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，三角函数恒等变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9，A正确；
若A，B为互斥事件，则P(A∩B)=0，P(A−∪B−)=1−P(A∩B)=1，B错误；
若A，B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.6+0.3−0.6×0.3=0.72，C正确；
若P(B|A)=0.3，则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.3=0.18，
所以P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=P(B)−P(AB)1−P(A)=0.3−0.181−0.6=0.3，D正确．
故选：ACD．
根据互斥事件的概率公式即可判断AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断C；根据条件概率公式即可判断D．
本题考查条件概率的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于足an+2=2 5an+1−5an，且a1=1，a2=2 5，
则令n=3可得，a3=2 5a2−5a1=15，a4=2 5a3−5a2=20 5，故A正确；
对于B，由an+2=2 5an+1−5an，
得an+2− 5an+1= 5(an+1− 5an)，
又a2− 5a1= 5，
所以数列{an+1− 5an}是以 5为首项， 5为公比的等比数列，故B正确；
对于C，由B选项知an+1− 5an=( 5)n，
所以an+1( 5)n+1−an( 5)n= 55，
所以数列{an( 5)n}是以 55为首项， 55为公差的等差数列，
所以an( 5)n= 55n，所以an=n( 5)n−1，
则Sn=1+2× 5+3×( 5)2+⋯+n( 5)n−1①，
①式等号两边乘以 5，可得 5Sn= 5+2×( 5)2+3×( 5)3+⋯+n( 5)n②，
由①−②可得，(1− 5)Sn=1+ 5+( 5)2+⋯+( 5)n−1−n( 5)n
=1−( 5)n1− 5−n( 5)n，
所以Sn=1−( 5)n(1− 5)2−n( 5)n1− 5=( 5n−n−1)( 5)n+1(1− 5)2，
Sn− 5an=( 5n−n−1)( 5)n+1(1− 5)2−n( 5)n=[(3 5−7)n−1]( 5)n+1(1− 5)2，
因为(3 3)2−72=−4