湖南省郴州市重点校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段测数学（B）试题（Word版附解析）

这是一份湖南省郴州市重点校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段测数学（B）试题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若函数 是奇函数，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递增， ，则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 展开式中含 项的系数为（ ）
A. 24 B. C. 48 D.
7. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的右焦点为 F，直线 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，且
，则双曲线 C 的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 数据 2，3，5，7，10 的上四分位数为 7
B. 若事件 A，B 相互独立，则
C. 若数据 的方差为 5，则数据 的方差为 20
D. 将数字 1，3，6，8，5 随机排列成五位数，该五位数是偶数的概率为 20%
10. 如图，在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 ．下
列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线 与 异面
C. 直线 与 异面
D. 平面
11. 已知 均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是 2
B. 若 ，则 的最小值为 8
C. 若 ，则 的最小值为 16
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D. 若 ，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ________．
13. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则实数
________．
14. 一个袋子里有大小和质地相同的 5 个球，标号为 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取 1 个
球，共取 5 次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有 4 个不相同的数的概率为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验
的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同．
（1）若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？
（2）求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率．
16. 记 为等差数列 的前 n 项和， 且 ．记 为数列 的前 n 项和，且
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）数列 的前 n 项和为 ，若对任意正整数 n，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
17. 如图，在四棱锥 中，底面是直角梯形 ， ， ， ，
， ， ， 为正三角形．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设点 是三棱锥 外接球的球心，求该外接球的半径；
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（3）在第（2）问的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. 如图，已知椭圆 C： 的离心率为 ，椭圆过点 ，E 为定点 ．
（1）求 C 的标准方程；
（2）过点 P 的直线交 C 于另一点 B，且 的面积为 1，求直线 BP 的方程；
（3）若 F 为椭圆的右焦点，直线 l 与 C 交于 M，N 两点（M，N 均不在长轴上），且总有 平分
．求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标．
19. 丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了
很多宝贵的成果．若 为 上任意 n 个实数，满足
，当且仅当 时等号成立，则称函数
在 上为“凸函数”．也可设可导函数 在 上的导函数为 ， 在 上的
导函数为 ，当 时，函数 在 上为“凸函数”．若 为 上任意 n 个
实数，满足 ，当且仅当 时等号成立，
则称函数 在 上为“凹函数”．可设可导函数 在 上的导函数为 ， 在
上的导函数为 ，当 时，函数 在 上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不
等式即为著名的琴生不等式．
（1）证明：函数 在 上为“凹函数”；
（2）已知正实数 a，b，c 满足 ，求证： ；
（3）一般形式的柯西不等式：设 ， 是实数，则
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，当且仅当
或存在一个实数 k，使得 时，等号成立．设 均为大于 0 的实数，
且 ，求证：
．
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