2026年江苏扬州市宝应县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2026年江苏扬州市宝应县中考一模数学试题（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．
一、选择题（每题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的）
1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A. -2026B. 2026C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
【详解】解：的相反数是．
2. 如图是一个工艺品摆件，其主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图．
根据从前面看到的图形是主视图作答即可．
【详解】解：由图可知，其主视图为．
故选：A．
3. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数等于所有数据之和除以数据的个数即可解答．
【详解】解：根据题意这组数据的平均数为：．
故选：B．
4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值．
【详解】∵是一元二次方程的一个解，
∴，
整理得，
解得．
5. 如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵△ABC~△DEF，相似比为，
与的面积比为，
的面积为，
的面积为．
6. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．
【详解】解：∵点为第二象限内的点，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解．
【详解】解：，，
，
是的直径，
，
．
8. 如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得OQ=OP=12PQ，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，tanB=ACBC=34，
∴BC=43AC=8，，
如图，设与相交于点，过点作于点，
∴∠AP1O=90°，
四边形是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=3，OQ=OP=12PQ，
当的长取最小值，的长取最小值，
由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值，
此时，OP=OP1=OA·sin∠OAP1=OA·sin∠BAC=3×810=125，
的最小值是2OP=2×125=245．
二、填空题（每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）
9. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
10. 分解因式：x2－25=_________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：．
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故答案为：．
12. 如果，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵7m=9nn≠0，
∴m:n=9:7.
13. 已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°．
【答案】40或70
【解析】
【分析】根据已知角度未明确是顶角还是底角，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分两种情况讨论即可求解．
【详解】解：分两种情况：
①当的角为顶角时，
则底角；
②当的角为底角时，底角即为；
综上所述，底角为或．
14. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数．
【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形．
∵正六边形的内角和为，
∴每一个内角为
∴．
故答案为：
15. 如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可．
【详解】解：点是劣弧的中点，
，
，
，
．
16. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键．
根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答．
【详解】解：设绫布每尺文，罗布每尺文，由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得，
由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得，
故方程组为；
故答案为：．
17. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答．
【详解】解：如图标记格点，连接，，
设小正方形的边长均为，
由勾股定理可知，，
，
中，，
中，，
，
，
，，
，
．
18. 设、、、为正整数，且，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入c−a=17中求解即可．
【详解】解：∵a7=b6，，
设a=m6，b=m7；c=n2，d=n3．
∵c−a=17，
∴n2−m6=17，
∴n+m3n−m3=17，
∴n+m3=17，n−m3=1，
，．
，d=93=729，
∴b−d=−601．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 按要求完成下列各题：
（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别计算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，最后计算加减即可；
（2）根据异分母分式加减，先通分再加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，11
【解析】
【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6，
这个不等式组的所有整数解的和．
21. 某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下：
（1）图中___________；
（2）扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________．
（3）已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数．
【答案】（1）
（2）
（3）人
【解析】
【分析】（1）通过组频数和所占比例可求出样本总数，再用样本总数减去其他组的频数之和即可求出的值；
（2）根据圆心角度数等于组频数占样本总数的比例乘以进行计算即可；
（3）用总人数乘以组和组频数占样本总数的比例之和即可．
【小问1详解】
解：样本总数为：，
∴a=50−5+5+20+8=12；
【小问2详解】
解： 扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为；
【小问3详解】
解：1000×20+850=560（人），
即根据样本数据估计获得“优秀”等级的参赛人数为人．
22. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）
（1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________；
（2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）根据题意，画出树状图，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，甲同学第一次就抽到模型A的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2件模型中包含A的有6种结果，
∴P（抽到的2件模型中包含A）．
23. 如图，已知，延长到E，使，连接，若．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，

∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，证得四边形是矩形是本题的关键．
24. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？
【答案】升级后每小时组装45辆汽车．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：升级后每小时组装45辆汽车．
25. 如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论；
（2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，以为直径的交于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图2，，，过点作，垂足为点，
，
，
∴，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
26. 如图，的边上有一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点；
（2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求；
（3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解．
【小问1详解】
解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求；
【小问2详解】
解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求；
点在的角平分线上，，，
∴OD⊥BQ，
为半径，
是的切线，切点为；
【小问3详解】
解：中，，，
∴BC=5×35=3，AC=AB2−BC2=52−32=4，
，
∴AD=AB+BD=8，
设，则OA=AC+OC=4+x，
在中，，
∴x2+82=4+x2，解得，
即的半径长为．
27. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点．
（1）若，求的长；
（2）若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由；
（3）线段的最小值是___________．
【答案】（1）
（2）不变，
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则tan∠BAE=tan∠ADB，列式计算即可；
（2）过点作，交于，交于，易证MF=12DM，再证明，即可得到的比值；
（3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
四边形是矩形，，
∴∠ABE=∠AFE=90°，
在和中，
AE=AEEB=EF，
∴Rt△ABE≌Rt△AFEHL，
，
∵EB=EF，
，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
，
∴∠BAE=∠ADB，
∴tan∠BAE=tan∠ADB，即BEAB=ABAD，
∴BE=AB2AD=428=2，
【小问2详解】
解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形，
∴MFAB=DMAD，即MF4=DM8，
∴MF=12DM，
四边形是矩形，
，∠AMF=∠FNB=90°，
∵∠MAF+∠AFM=∠AFM+∠EFN=90°，
∴∠MAF=∠EFN，
∴△AMF∽△FNE，
∴EFAF=FNAM，
设，则DM=2a，AM=AD−DM=8−2a，FN=MN−MF=4−a，
∴EFAF=4−a8−2a=12，
即的比值不变，为；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，即，
当线段取最小值时，线段取最小值，
根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示，
在中，，
∵S△ABD=12AB·AD=12BD·AF，
∴AF=AB·ADBD=4×845=855，
∴EF=12AF=455
即线段的最小值是．
28. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值．
【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标；
（2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得；
（3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴
解得：，，
∴抛物线的解析式为．
当时，．
解得，，
∴C点坐标为；
（2）∵直线与坐标轴交于，两点，
∴令，得，令，则，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点，
∴，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵C点坐标为，
∴，
∴，
∴；
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得
，
解得，
∴，
设M点坐标为，则，
，
∵，，
∴当时，的最大值为2．
组别
成绩（）