2026年广东省东莞市虎门外语学校中考数学质检试卷（3月份）（含答案+解析）

这是一份2026年广东省东莞市虎门外语学校中考数学质检试卷（3月份）（含答案+解析），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.以下长度的三条线段，不能组成三角形的是( )
A. 5、8、2B. 2、5、4C. 4、3、5D. 8、14、7
3.体育课上的侧压腿动作(如图1)可以抽象为几何图形(如图2)，如果∠1=120∘，则∠2等于( )
A. 10∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘
4.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7(单位：cm)，则CD的长度为( )
A. 1cmB. 3cmC. 6cmD. 7cm
5.如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线.已知∠ABC=150∘，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m
6.蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成(如图所示).一个正六边形的内角和的度数是( )
A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 1080∘
7.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABACD. ABBP=ACCB
8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC=3ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF=5，则S△BCD为( )
A. 60
B. 45
C. 18
D. 15
9.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8
10.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG、BF、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②FG=CG；③AG//CF；④S△BFC=365.其中正确结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知如图二维码的大正方形边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码白色部分的面积约为 .
12.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点.若∠1=53∘，则∠B的度数是 .
13.圆O的半径为5，若OA=4，则点A在 .(填圆内或圆上或圆外)
14.在平面直角坐标系中，△ABC按如图方式摆放，∠ABC=90∘，AB=BC.若点A，B的坐标分别为(0,5)，(−1,1)，则点C的坐标为 .
15.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AD上，连接BE，CE，BE=CE.
(1)如图1，求证：AD平分∠BAC；
(2)如图2，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形.
17.(本小题7分)
万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑.学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动.下面是某学习小组的活动记录.
请完成同学们提出的问题.
18.(本小题7分)
装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN//GH.计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
(2)操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30∘时停止滚动.如图2.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D.操作后水面高度下降了多少？
19.(本小题9分)
在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化.酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色.现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______；
(2)张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率.
20.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE=BC.连接AE.过点B作BF//AC，交AE于点F，连接OF.
(1)求证：四边形AFBO是矩形；
(2)若∠E=30∘，OF=2，求菱形ABCD的面积.
21.(本小题9分)
【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角.
【概念理解】
(1)根据概念，完成下列问题；
①如图1，△ABC是正度三角形，∠C是正度角.若∠B=130∘，则∠C=______；
②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为______.
【性质探究】
(2)如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是正度三角形，∠B是钝角，∠A是正度角时，存在tanA=BCAC的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论；
【拓展应用】
(3)如图3，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE和△BCD都是正度三角形，且∠CAE、∠DCB分别为正度角时，求∠CAB的度数.
22.(本小题13分)
如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE，AF，AD⊥BD，垂足为点D，DE=3，DF=1.
(1)求证：AE平分∠BAD；
(2)求OA的长；
(3)设AB=kOB(k>0)，求k的值；
(4)求cs∠EAF的值.
23.(本小题14分)
综合与探究
【问题背景】如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90∘，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90∘到△AED处，点B，C分别落在点A，E处(如图②)，易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= 2CD，从而得出结论：AC+BC= 2CD.
【简单应用】
(1)在图①中，若AC=2 2，BC=3 2，则CD=______.
(2)如图③，有一个圆形公园⊙O，直径AB是贯穿公园⊙O的一条小路，出口点C、D在公园⊙O上，且AD=BD，线段BC也是一条小路，若路AB=1300米，BC=1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小河CD，小河CD最短是多少米？
【拓展规律】
(3)如图④，∠ACB=∠ADB=90∘，AD=BD，若AC=a，BC=b(a5，C能组成三角形，不符合题意；
8+7>14，D能组成三角形，不符合题意；
故选：A.
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
3.【答案】D
【解析】解：根据三角形外角性质得，∠1=∠2+90∘，
∵∠1=120∘，
∴∠2=120∘−∠1=120∘−90∘=30∘，
则∠2等于30∘，
故选：D.
根据三角形外角的性质计算即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知：AB=7−1=6(cm)，AD=4−1=3(cm)，DB=7−4=3(cm)，
∴CD是△ABC的中线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，
∴CD=12AB=3(cm)，
故选：B.
求出AB=6cm，AD=DB=3cm，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：过C作CE⊥AB于E点，如图，
∵∠ABC=150∘，BC的长是8m，
∴∠CBE=180∘−∠CBA=180∘−150∘=30∘，
∴CE=12BC=12×8=4(m)，
故选：B.
过C作CE⊥AB于E点，已知∠ABC=150∘，则∠CBE=30∘，根据三角函数即可求解．
本题考查了含30∘角的直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：正六边形的内角和为(6−2)×180∘=720∘，
故选：C.
根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．
本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当APAB=ABAC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D.
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF
∴△EDF∽△CBF
∵BC=3ED
∴S△BCFS△DEF=(BCDE)2=32=9,BFDF=BCDE=3，
∴S△BCF：S△CDF=3，
∵S△DEF=5
∴S△BCF=9S△DEF=9×5=45，
∴S△BCD=43S△BCF=43×45=60，
故选：A.
先证△EDF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方求解．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△EDF∽△CBF.
9.【答案】B
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴DA=DB，AE=BE，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD=12，
∴AC+CD+DB=12，
即AC+BC=12，
∵△ABC的周长为20，
∴AC+BC+AB=20，
∴AB=20−12=8，
∴AE=12AB=4.
故选：B.
利用基本作图得到DE垂直平分AB，则DA=DB，AE=BE，利用等量代换得到AC+BC=12，再利用△ABC的周长为20得到AB=8，从而得到AE的长．
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．
10.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90∘，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=12∠BAD=45∘，故①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC−BG=6−x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6−x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴(6−x)2+42=(x+2)2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6−3=3
∴BG=CG=FG，故②正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF//AG，故③正确；
过F作FH⊥DC于H，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴FHGC=EFEG，
∵EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴FHGC=EFEG=25，
∴FH=25GC=25×3=65，
∴S△FGC=S△GCE−S△FEC=12×3×4−12×4×65=185，
∵BG=GC，
∴S△BFC=2S△FGC=365，故④正确．
故选：D.
先求出DE=2，EC=4，由折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90∘，∠FAE=∠DAE，由“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=12∠BAD=45∘；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC−BG=6−x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得(6−x)2+42=(x+2)2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF//AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为25，可计算S△FGC，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】2.6
【解析】解：根据题意，点落在区域内白色部分的频率稳定在1−0.35=0.65左右，
因为大正方形的面积为2×2=4，
所以由此可以估计白色部分的面积约为4×0.65=2.6，
故答案为：2.6.
先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在1−0.35=0.65左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答．
本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．
12.【答案】53∘
【解析】解：∵在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠1=53∘，
∴∠B=53∘，
故答案为：53∘.
由点D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线定理证明DE//BC，则∠1=∠B=53∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形中位线定理、平行线的性质等知识，证明DE//BC是解题的关键．
13.【答案】圆内
【解析】】解：∵⊙O的半径为5，OA=4，
∴dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d0)，
∴AB=OB+OA=OB+4=kOB，
∴OB=4k−1，
∵∠B=∠B，∠OEB=∠ADB=90∘，
∴△OBE∽△ABD，
∴BEBD=OBAB，即BEBE+3=1k，
∴BE=3k−1，
在Rt△OBE中，OB2=BE2+OE2，即(4k−1)2=(3k−1)2+42，
设t=1k−1，则(4t)2=(3t)2+42，
解得t=4 77(负值已舍去)，
∴1k−1=4 77，
∴k= 74+1；
(4)解：由圆周角定理，得∠EOF=2∠EAF，
如图，过点O作OM平分∠EOF，交DE于点M，连接MF
由(2)，得OE=OF，
∵OM平分∠EOF，
∴∠DOM=∠EOM=12∠DOE=∠EAF，
又OM=OM，
∴△OEM≌△OFM(SAS)，
∴EM=FM，∠OFM=∠OEM=90∘，
∴DM=DE−EM=3−FM，
在Rt△DMF中，DM2=DF2+FM2，即(3−FM)2=12+FM2，
解得FM=43，
∴在Rt△OFM中，OM= OF2+FM2=4 103，
∴cs∠DOM=OFOM=44 103=3 1010，
∴cs∠EAF=cs∠DOM=3 1010.
(1)连接OE，通过切线的性质得到OE⊥BD，从而推出OE//AD，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
(2)连接OE，借助Rt△ODE，利用勾股定理求出OE(即半径)的长即可；
(3)再利用平行线分线段成比例(或证明相似三角形)，用k表示出BE和OB，借助Rt△OBE，利用勾股定理求解即可；
(4)借助圆周角定理，推得∠DOE=2∠EAF，作∠DOE的平分线，借助△DOE，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理的推论，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并能综合运用是解题关键．
23.【答案】5 850 2米 2(b−a)2 PQ=3 14+ 216AC或PQ=3 14− 216AC
【解析】解：(1)∵AC=2 2，BC=3 2，AC+BC= 2CD，
∴ 2CD=2 2+3 2，
∴CD=5，
故答案为：5；
(2)由两点之间线段最短可知，小河CD的最小值为线段CD的长，
如图③，连接AC，AD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90∘，
∵BC=1200米，AB=1300米，
∴AC= AB2−BC2=500(米)，
∵AD=BD，
∴AD=BD，
∴如图③，将△BCD绕点D顺时针旋转90∘到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，
∴∠DAE=∠DBC，∠CDE=90∘，DE=CD，AE=BC=1200米，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC=180∘，
∴∠CAD+∠DAE=180∘，
∴点C，A，E在同一条直线上，
∴CE=AC+AE=1700米，
∵在Rt△CDE中，CE= CD2+DE2= 2CD，
∴CD= 22CE=850 2(米)，
答：小河CD最短是850 2米．
(3)如图④，以AB为直径作⊙O，连接DO，并延长交⊙O于点D1，连接AD1，BD1，CD1，
∵∠ADB=90∘，AD=BD，OA=OB，
∴DO垂直平分AB(等腰三角形的三线合一)，
∴AD1=BD1，
由题干可知，AC+BC= 2CD1，
∵AC=a，BC=b(a0)，则AC=8m，AE=2m，
在Rt△ACQ中，CQ= AC2−AQ2=3 7m，
∴m+3 7m= 2PQ，
∴PQ=3 14+ 22m，
由AC=8m得：m=18AC，
∴PQ=3 14+ 216AC；
②如图⑥，当点E在直线AC的右侧时，连接CP，CQ，
同理可得：AP=CP,AQ=12AE,∠APC=∠AQC=90∘，
设AQ=n(n>0)，则AE=2n，AC=8n，
在Rt△ACQ中，CQ= AC2−AQ2=3 7n，
由(3)可知，PQ= 22(CQ−AQ)，
∴PQ= 22(3 7n−n)=3 14− 22n，
由AC=8n得：n=18AC，
∴PQ=3 14− 216AC；
综上，线段PQ与AC的数量关系是PQ=3 14+ 216AC或PQ=3 14− 216AC.
故答案为：PQ=3 14+ 216AC或PQ=3 14− 216AC.
(1)将AC，BC的值代入AC+BC= 2CD计算即可；
(2)先得出小河CD的最小值为线段CD的长，再连接AC，AD，BD，根据AC+AE=CE= 2CD解答即可；
(3)以AB为直径作⊙O，连接DO，并延长交⊙O于点D1，连接AD1，BD1，CD1，则可得AC+BC= 2CD1，再求出DD1，AB的长，然后在Rt△CDD1中，利用勾股定理求解即可；
(4)分两种情况：①当点E在直线AC的左侧时，②当点E在直线AC的右侧时，分别利用题干和(3)的结论求解即可．
本题考查圆的综合题，勾股定理，与圆有关的计算，全等三角形的判定与性质，旋转，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．活动课题
测量万荣稷王庙的高度
活动目的
运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题
方案示意图
测量步骤
1.无人机在点A处以5m/s的速度竖直上升6s后，飞行至点B处.
2.调整无人机位置，使得点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上且DE⊥AE.
3.在点B处测得塔顶D的俯角为21∘.
4.然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45∘.
参考数据
sin21∘≈0.36，cs21∘≈0.93，tan21∘≈0.38
应用
请根据以上数据计算DE的高度(结果精确到0.1米).
A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)