2023年广东省江门市鹤山市中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2023年广东省江门市鹤山市中考数学质检试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省江门市鹤山市中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −25的相反数是(    )
A. 25 B. −52 C. 52 D. −25
2. 人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为(    )
A. 7.7×10−5 B. 7.7×10−6 C. 77×10−7 D. 0.77×10−5
3. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、平行四边形、直角三角形、菱形四种图案，你认为符合条件的图案是(    )
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形
4. 如图，不等式组x−1<2−3x≤9的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
5. 圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是cm2．(    )
A. π B. 3π C. 9π D. 6π
6. 在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94.这组数据的中位数和众数分别是(    )
A. 94，94 B. 94，95 C. 93，95 D. 93，96
7. 如图，已知a//b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，若∠1=125°，∠2=50°，则∠3为(    )
A. 55°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
8. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于(    )
A. 34
B. 43
C. 45
D. 35
9. 如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是(    )
A. 点O1的坐标是(1,0)
B. 点C1的坐标是(2,−1)
C. 四边形OBA1B1是矩形
D. 若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3

10. 如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB.点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是(    )

A. ① B. ④ C. ①或③ D. ②或④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在函数y=x2x+6中，自变量x的取值范围是______ ．
12. 如果一次函数的图象平行于直线y=2x，且与y轴相交于点(0,−5)，那么这个一次函数的解析式是______ ．
13. 计算：|−1|+3−1−( 2)0= ______ ．
14. 已知矩形的长和宽分别是方程x2−26x+61=0的两个实数根，则这个矩形的面积______ ．
15. 如图，在等边△ABC中，AB=6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是______．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
将x2+2xx2−1⋅(1−1x)化简，并计算当x=−3时代数式的值．
17. (本小题8.0分)
为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一树”活动中，我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如图统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

(1)该中学一共随机调查了______ 人；
(2)条形统计图中的n= ______ ，m= ______ ；
(3)柳树所在的扇形的圆心角为______ 度；
(4)如果该学校有3000名学生，则该学校学生喜爱香樟树的人数大约是多少人？
18. (本小题8.0分)
已知关于x，y的方程组x−2y=1x+2y=n和x+y=m2x−3y=5有公共解，求m，n的值．
19. (本小题9.0分)
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标，某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降40%．
(1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
(2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．

(1)求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)证明AP=AQ．
21. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0,1)，点B坐标为(0,−2)，反比例函数y=kx的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．





22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC=AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB=10，tanB=43，求⊙O的半径；
(3)若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交与点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D是y轴上的点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(3)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−25的相反数是25．
故选：A．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，由此即可求解．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2.【答案】B 
【解析】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10−6故选B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】C 
【解析】解：A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C.菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D.直角三角形可能是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：x−1<2, ①−3x≤9, ②
由①，得
x<3；
由②，得
x≥−3；
故不等式组的解集是：−3≤x<3；表示在数轴上如图所示：

故选：A．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式．
根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】
解：S=240π×9360=6πcm2，
故选D．  
6.【答案】B 
【解析】解：这组数据重新排列为：88、92、93、94、95、95、96，
∴这组数据的中位数为94，众数为95，
故选：B．
先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义就可以求解．
本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数，难度适中．

7.【答案】D 
【解析】解：∵a//b，∠1=125°，
∴∠ACD=125°，
∵∠2=50°，
∴∠3=125°−50°=75°．
故选：D．
利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8.【答案】C 
【解析】解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF//BD，EF=12BD，
∵EF=2，
∴BD=4，
又∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴sinC=BDBC=45，
故选：C．
如图，连接BD，由三角形中位线定理得到BD的长度，然后利用勾股定理的逆定理推知△BCD为直角三角形，最后由锐角三角函数的定义进行解答．
此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．

9.【答案】D 
【解析】解：根据图形可知：点O的坐标是(0,0)，点C的坐标是(1,1)．
因为把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，所以点O，C绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到点O1的坐标是(1,0)，点C1的坐标是(2,−1)，所以选项A，B正确．
根据点O(0,0)，B(0,1)，A1(2,1)，B1(2,0)的坐标可得：四边形OBA1B1是矩形，选项C正确．
根据点O(0,0)，C(1,1)，A1(2,1)，B1(2,0)的坐标可得：梯形OCA1B1的面积等于12(1+2)×1=32≠3，所以选项D错误．
故选：D．
利用抛物线和平面直角坐标系的性质．
本题难度中等，考查抛物线的旋转、平移及平面直角坐标系的知识．

10.【答案】C 
【解析】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③，
故选：C．
分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．
本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

11.【答案】x≠−3 
【解析】解：根据题意得：2x+6≠0，
解得：x≠−3．
故答案为：x≠−3．
根据分式有意义的条件是分母不等于0，故2x+6≠0，解不等式即可求得x的范围．
本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0．

12.【答案】y=2x−5 
【解析】解：∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=2x，
∴k=2，
设一次函数的解析式为y=2x+b，
∵与y轴交于点(0,−5)，
∴b=−5，
∴此一次函数的解析式为y=2x−5．
故答案为：y=2x−5．
根据互相平行的直线的解析式的k值相等求出k=2，然后设一次函数的解析式为y=2x+b，再把与y轴的交点坐标代入求出b的值，从而得解．
本题考查了两直线相交的问题，熟记互相平行的直线的解析式的k值相等并求出k值是解题的关键．

13.【答案】13 
【解析】解：原式=1+13−1
=13．
故答案为：13．
根据绝对值、负整数指数幂和零次幂的性质化简，然后再进行计算．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂和零次幂的性质是解题关键．

14.【答案】61 
【解析】解：设方程x2−26x+61=0的两个实数根为x1，x2，
根据根与系数的关系可得x1⋅x2=61，
所以矩形的面积为x1⋅x2=61
故答案为：61
设方程x2−26x+61=0的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．

15.【答案】2 3 
【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFB=120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°,OA=2 3)，
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值=OC−ON=4 3−2 3=2 3．
故答案为2 3．
首先证明∠AFB=120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°,OA=2 3)，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

16.【答案】解：原式=x(x+2)(x+1)(x−1)⋅x−1x
=x+2x+1，
当x=−3时，原式=−3+2−3+1=12． 
【解析】根据分式的混合运算顺序，先算括号内，再进一步利用因式分解进行约分计算，最后代值计算．
本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

17.【答案】200  30  70  36 
【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，
∴该中学一共随机调查了200人，
故答案为：200；
(2)n=200×15%=30(人)，m=200−80−20−30=70(人)，
故答案为：30，70；
(3)10%×360°=36°，
故答案为：36；
(4)3000×70200=1050(人)，
即该学校学生喜爱香樟树的人数大约是1050人．
(1)根据喜欢柳树的人数和喜欢柳树的学生所占百分比即可求出调查人数；
(2)用总人数乘以喜欢木棉的学生所占百分比即可求出n的值，再用总人数减去喜欢桂花、柳树、木棉的学生人数，即可求出m的值；
(3)用喜欢柳树的学生所占百分比乘以360°即可得到答案；
(4)用总数3000乘以喜欢香樟树的学生所占百分比即可得出答案．
本题是条形统计图和扇形统计图的综合问题，考查了求总体人数，求部分人数和百分比，圆心角度数以及用样本估计总体，具备从统计图中获取信息的能力，熟练掌握相关知识是关键．

18.【答案】解：∵x−2y=1x+2y=n和x+y=m2x−3y=5有公共解，
∴x−2y=12x−3y=5的解也是上述两个方程的解，
解得x=7y=3，
故x+2y=7+6=n，即n=13，
x+y=m=10．
∴m=10，n=13． 
【解析】利用已知得出方程组x−2y=12x−3y=5与题干中的两个方程组的解相同，进行求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，利用方程组的有公共解得出x，y的值是解题关键．

19.【答案】解：(1)50×(1−50%)=25(万元)．
故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；
(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是(260−x)辆，依题意有50(260−x)+25x=9000，
解得x=160．
故明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 
【解析】(1)用50乘以(1−50%)即可；
(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，根据今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车列方程求解即可．
本题考查了有理数混合运算的应用，以及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．

20.【答案】(1)解：如图所示，BQ为所求作；


  (2)证明：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵∠BAC=90°
∴∠AQP+∠ABQ=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠CBQ+∠BPD=90°，
∵∠ABQ=∠CBQ，
∴∠AQP=∠BPD，
又∵∠BPD=∠APQ，
∴∠AQP=∠APQ，
∴AP=AQ． 
【解析】(1)利用基本作图(作已知角的角平分线)作BQ平分∠ABC即可；
(2)证明∠AQP=∠APQ即可．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．

21.【答案】解：(1)∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0,−2)，
∴AB=1+2=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=3，
∴C(3,−2)，
把C(3,−2)代入y=kx得k=3×(−2)=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
把C(3,−2)，A(0,1)代入y=ax+b得3a+b=−2b=1，
解得a=−1b=1，
∴一次函数解析式为y=−x+1；
(2)设P(t,−6t)，
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴12×1×|t|=3×3，解得t=18或t=−18，
∴P点坐标为(18,−13)或(−18,13). 
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C(3,−2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)设P(t,−6t)，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到12×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t，即可得到P点坐标．

22.【答案】解：(1)证明：如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
在△ACO和△ADO中，
AC=ADAO=AOOC=OD,
∴△ACO≌△ADO(SSS)，
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)∵tanB=43=ACBC，
∴设AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
∴x=2，
∴BC=6，
∵AC=AD=8，AB=10，
∴BD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(6−OC)2=OC2+4，
∴OC=83，
故⊙O的半径为83；
(3)AF=CE+BD
证明：连接OD，DE，

由(1)可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，
又∵CO=DO，OE=OE，
在△COE和△DOE中，
CO=DO∠AOC=∠AODOE=OE
∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠OCE=∠ODE，
∵OC=OE=OD，
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，
∴∠DEF=180°−∠OEC−∠OED=180°−2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB=90°，
∴CF=BF=AF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠DFE=180°−∠BCF−∠CBF=180°−2∠OCE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=CE，
∴AF=BF=DF+BD=CE+BD． 
【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
(1)连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；
(2)由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；
(3)连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠ODE，由平角的定义可得∠DEF=180°−∠OEC−∠OED=180°−2∠OCE，由三角形内角和定理可得∠DFE=180°−∠BCF−∠CBF=180°−2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．

23.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(5,0)代入y=ax2+bx−5可得：a−b−5=025a+5b−5=0，解得a=1b=−4，
∴二次函数的解析式为y=x2−4x−5；
(2)①当△DBC∽△ABC时，则△DBC≌△ABC，
则点C与点D关于一三象限对称轴对称，则点D(0,1)；
②当△CBD∽△BAC时，
如下图：

则∠DBC=∠CAB，而tan∠CAB=OCOA=5=tan∠DBC，
设BH=x，则DH=5x=CH，
则BC=CH+BH=6x=5 2，解得：x=5 26，
则CD= 2DH=5 2x=253，而OC=5，
则OD=253−5=103；
D点坐标为(0,1)或(0,103)．
(3)设H(t,t2−4t−5)，
∵CE//x轴，∴yE=−5，
又∵E在抛物线上，即x2−4x−5=−5，解得x1=0，x2=4，
∴E(4,−5)，CE=4．
∵B(5,0)，C(0,−5)，
∴BC所在直线解析式为y=x−5，
∴F(t,t−5)则HF=t−5−(t2−4t−5)=−t2+5t=−(t−52)2+254∵S四边形CHEF=12CE⋅HF，而CE是定值，
∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积．
当t=52时，HF取得最大值254，四边形CHEF的最大面积为12CE⋅HF=12×4×254=252
此时H(52,−354)． 
【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．
(1)把A(−1,0)，B(5,0)代入y=ax2+bx−5，即可求解；
(2)分△DBC∽△ABC、△CBD∽△BAC两种情况，分别求解即可；
(3)设H(t,t2−4t−5)，BC所在直线解析式为y=x−5，∴F(t,t−5)则HF=t−5−(t2−4t−5)=−t2+5t=−(t−52)2+254∵S四边形CHEF=12CE⋅HF，而CE是定值，即可求解．