2023年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2023年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个选项中，为负整数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年深圳全市地区生产总值万亿元万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是元．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼顶处看乙楼楼顶处仰角为，则甲楼高度为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  下列说法正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对应边成比例的四边形是相似四边形
C. 二次函数为常数的图象与轴有两个交点
D. 若代数式在实数范围内有意义，则

9.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D. 关于的方程的所有实数根的和为

10.  如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有“全程马拉松”，“半程马拉松”，：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率        ．

13.  如图所示，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交于点，若，则的长为        ．

14.  如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至，反比例函数的图象经过点若线段扫过的面积为，则的值为       

15.  如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简：，并在，，，中选一个合适的数求值．

18.  本小题分
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：的一组数据，将所得数据分为四组：；：；：；：，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次一共抽样调查了______名学生．
求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数．
将条形统计图补充完整．
若该校共有名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．

19.  本小题分
某企业计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，购买金额不超过万元请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

20.  本小题分
如图，为的直径，点在直径上点与，两点不重合，，点在上且满足，连接并延长到点，使．
求证：是的切线；
若，试求的值．

21.  本小题分
【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米下面的表中记录了与的五组数据：

在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；

若水柱最高点距离湖面的高度为米，则        ，并求与函数表达式；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．

22.  本小题分
【问题初探】
如图，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，连接，，点为的中点，连接猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．

【深入探究】
在的条件下，如图，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展迁移】
如图，等腰中，，在中，，连接，，点为的中点，连接绕点旋转过程中，
线段与的数量关系为：        ；
若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为        ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是正整数，也不是负整数，故不符合题意；
B、是负整数，故符合题意；
C、不是负整数，故不符合题意；
D、不是负整数，故不符合题意．
故选：．
根据整数的概念可以解答本题．
本题主要考查了有理数的分类，熟记负整数的概念是解题的关键．有理数包括整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，符合题意；
不是中心对称图形，不符合题意；
不是中心对称图形，不符合题意；
不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念即可求解．
本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后能够与原来的图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了整式的运算、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式和平方差公式．
 

5.【答案】 

【解析】解：如下图所示，

，
两直线平行，内错角相等，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质即可求解．
本题考查的是平行线的性质以及直角三角形的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：售价利润率成本，商品售价元，利润率为，
成本，
故选：．
根据售价利润率成本求出即可．
此题主要考查了列代数式，正确掌握售价利润率成本是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

在中，米，，
米，
米．
甲楼高为米．
故选：．
分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
 

8.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意；
B.对应边成比例且对应角相等的四边形是相似四边形，故该选项错误，不符合题意；
C.对于二次函数为常数，，所以图象与轴有两个交点，故该选项正确，符合题意；
D.若代数式在实数范围内有意义，则，故该选项错误，不符合题意．
故选：．
根据菱形的判定，相似多边形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义分析即可得解．
本题主要考查了相似多边形的性质，菱形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是函数图象和轴的交点，
，
解得：，
，
故A、B错误；
如下图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有条直线，

故C错误；
关于的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：．
由是函数图象和轴的交点，解得：可判断、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接，，

四边形和四边形均为正方形，点为的中点，
，，，，
即，
，，
将绕点顺时针旋转得，使得与重合，
，，，，
，
，
≌，
，，，
，，
点、、三点共线，
，，
，
，，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接先求得，，再证明≌，从而有，，进而得点、、三点共线，从而证明，利用勾股定理即可得解．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理以及旋转图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由图可知共有种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有种，
小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为，
故答案为：．
画树状图，可得共有种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

由作图知平分，
，
，
，
，
，，
≌，
，
设，
在中，由勾股定理得，
，
解得：，即，
，
故答案为：．
过点作于点，由作图知平分，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解方程即可得到结论．
本题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，

将线段沿轴向右平移至，
，，
，
轴，轴，
，
在与中，
，
≌，
，
线段扫过的面积为，
四边形的面积为，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，先证明≌，得，进而求得，根据反比例函数的意义即可求解．
本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到平移的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作射线于点，

将沿折叠，的对应边交于点，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，，
，
，
射线，
，
，
，
点与点重合，
．
故答案为：．
过点作射线于点，先证是等边三角形，再证∽，得，得，故，，由折叠的性质可知，利用三角函数求得的长，进而得点与点重合，从而求得的长．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂法则、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、负整数指数幂法则进行计算即可得到答案．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式




；
又分母不能为，
不能取，，，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
表示组的扇形圆心角的度数为；
组人数为名，
补全图形如下：

名．
答：估计该校最近两周有名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
由组人数及其所占百分比求出总人数；
用乘以组人数所占比例即可；
根据总人数求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

19.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨；
设购买型机器人台，购买总金额为万元，
由题意得：，
解得：，
；
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元． 

【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据“型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，舍去，
，
在中，，
，
，
的值为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
设的半径为，则，在中，利用勾股定理可求出，从而求出，然后在中，根据勾股定理可求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图所示：

由图可得函数顶点为，
水柱最高点距离湖面的高度为米，

根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到约米才能符合要求．
建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
设函数表达式为，先由图得到函数顶点为，再将代入计算即可；
根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 

22.【答案】  

【解析】解：理由：，，理由如下：
如图，延长交于点，

为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
又，
≌，
，
在中，
点为斜边的中点，
，
，
设，则，
≌，
，
在中，点为斜边的中点，
，
，
，
，
；
结论，，仍然成立，理由如下：
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，

点，分别是，的中点，
，
，
，
在等腰中，点是的中点，
，，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
∽，
，
在和中，，，
，即．
综上：，；
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，

，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，，
，
在等腰中，点是的中点，，
，，，
，
，即，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
故答案为：；
，，
点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当时，最大，
过点作，

，
四边形为矩形，
，
在中，，
在中，，，
，
，
在中，，
由得：，
．
故答案为：．
延长交于点，根据等腰直角三角形的性质先证明≌，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，设，则，可得，再由，，，即可；
取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰直角三角形的性质可得，可证明∽，从而得到，，即可；
取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，可得，可证明∽，即可；根据题意可得点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，则可得当时，最大，过点作，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出，从而得到，在中，再由勾股定理求出，即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．