2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 043-课时作业39 数列求和（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 043-课时作业39 数列求和（教用），共13页。
单选题每小题2分，填空题每小题2分，解答题每题8分，共26分.
1．已知数列{an}的通项公式an=2,n为奇数,n+1,n为偶数,则数列{an}的前10项和为（ ）
A. 35B. 40C. 45D. 50
【答案】C
【解析】依题意得S10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=5×2+5×(3+11)2=45.故选C.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，且an+1+an=2n，则S10=（ ）
A. 684B. 682C. 342D. 341
【答案】B
【解析】由题意知a2+a1=21，a4+a3=23，a6+a5=25，a8+a7=27，a10+a9=29，
所以S10=21+23+25+27+29=2×(1−45)1−4=682.故选B.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=20,a3+a7=20，则数列{1Sn}的前10项和为（ ）
A. 1011B. 910C. 56D. 34
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则S4=4a1+6d=20,a3+a7=2a1+8d=20，解得a1=d=2，故Sn=2n+n(n−1)2×2=n2+n，所以1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1，因此{1Sn}的前10项和为1S1+1S2+⋯+1S10=1−12+12−13+⋯+110−111=1−111=1011.故选A.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=n+22n，若Sn≤k恒成立，则k的最小值是（ ）
A. 72B. 4C. 92D. 5
【答案】B
【解析】Sn=32+422+523+⋯+n+22n，
12Sn=322+423+524+⋯+n+12n+n+22n+1，
两式相减可得，
12Sn=32+122+123+124+⋯+12n−n+22n+1=
32+122(1−12n−1)1−12−n+22n+1=2−n+42n+1，
所以Sn=4−n+42n，
因为n+42n>0，所以4−n+42nan
C. {1an}的前n项和Sn=2n+1−n−2
D. {2nanan+1}的前n项和Tn=1−12n+1−1
【答案】ACD
【解析】由题可得2an+1=1an+1，即1an+1+1=2(1an+1)，又1a1+1=2，所以{1an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以A正确；由A可得1an+1=2×2n−1=2n，即1an=2n−1，所以an=12n−1，易知2n−1恒正，且随着n的增大而增大，所以an=12n−1随着n的增大而减小，所以B错误；由1an=2n−1可得Sn=21−1+22−1+⋯+2n−1=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2，所以C正确；由2nanan+1=2n⋅12n−1⋅12n+1−1=12n−1−12n+1−1可得Tn=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1，所以D正确.故选ACD.
12．（2025·江西赣州模拟）已知数列{an}满足a1=7，an+2+(−1)nan=3n−1，则其前16项和为_ _ _ _ .
【答案】540
【解析】当n为奇数时，an+2−an=3n−1，所以an−an−2=3(n−2)−1=3n−7，an−2−an−4=3(n−4)−1=3n−13，⋯⋯ ，a5−a3=8，a3−a1=2，上述各式相加得an−a1=2+8+⋯+(3n−7)=(n−1)(3n−5)4(n≥3)，所以an=7+(n−1)(3n−5)4(n≥3)，因为a1=7也满足上式，所以an=7+(n−1)(3n−5)4，因此a1+a3+a5+⋯+a15=56+14×(0+8+40+96+176+280+408+560)=448.
当n为偶数时，an+2+an=3n−1，所以a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41，即a2+a4+a6+⋯+a16=92.
综上，a1+a2+a3+⋯+a16=540.
13．（2026·浙江湖州模拟）设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12(an+1an).
（1） 求证：数列{an2+1an2}为等差数列；
（2） 求数列{an}的前100项和.
【解析】
（1） 证明：当n=1时，S1=12(a1+1a1)，整理得a12=1，又a1>0，所以a1=1.
当n≥2时，由Sn=12(an+1an)得Sn−1=12(an−1+1an−1)，
两式相减得Sn−Sn−1=12(an+1an)−12(an−1+1an−1)，
所以an−1an=−an−1−1an−1，于是(an−1an)2=(−an−1−1an−1)2，则an2+1an2−2=an−12+1an−12+2，即(an2+1an2)−(an−12+1an−12)=4，
所以数列{an2+1an2}是首项为a12+1a12=2，公差为4的等差数列.
（2） 由（1）得an2+1an2=2+4(n−1)=4n−2，于是(an+1an)2=4n.
由于an>0，所以an+1an=2n，即an2−2nan+1=0，解得an=n±n−1，
又an−1an=−an−1−1an−10,m>0时，ab−a+mb+m=a(b+m)−b(a+m)b(b+m)=m(a−b)b(b+m)