2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 041-课时作业37 等比数列及其前项和（教用）

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单选题每小题2分，多选题每小题4分，填空题每小题2分，解答题每题10分，共30分.
1．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2=2，a6=8a3，则S5=（ ）
A. 30B. 31C. 63D. 64
【答案】B
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意可得a1q=2,a1q5=8a1q2,解得a1=1,q=2,
则S5=1×(1−25)1−2=31.故选B.
2．在等比数列{an}中，若a3=6，则a1与a5的等比中项为 （ ）
A. 6B. −6C. ±6D. ±36
【答案】C
【解析】由于{an}为等比数列，所以a1a5=a32=36，因此a1与a5的等比中项为±36=±6.故选C.
3．（2026·江苏南京开学考）在等比数列{an}中，a3a4a5=8,a4+a8=20，则a6=（ ）
A. 36B. ±6C. −6D. 6
【答案】D
【解析】由a3a4a5=a43=8,得a4=2，则a4+a8=2+a8=20⇒a8=18，又a4a8=a62=2×18=36，解得a6=±6，因为a6=a4q2=2q2>0，所以a6=6.故选D.
4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1=1，则“S3=3”是“q=−2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为a1=1，所以当q=1时，a2=a3=a1=1，此时S3=3；当q≠1时，S3=a1(1−q3)1−q=3，解得q=−2.所以“S3=3”是“q=−2”的必要不充分条件.故选B.
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=3S3,S9=14，则S6=（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】因为{an}是等比数列，所以S3,S6−S3,S9−S6成等比数列，因为S6=3S3,S9=14，
所以S9−S6S6−S3=S6−S3S3=2，故14−S6S6−13S6=2，解得S6=6.故选B.
6．（2026·江苏无锡模拟）在数列{an}中，a1=1，若数列{an⋅an+1}是公比为2的等比数列，则a1+a3+a5+a7+⋯+a19=（ ）
A. 2 048B. 2 047C. 1 024D. 1 023
【答案】D
【解析】由数列{an⋅an+1}是公比为2的等比数列，得an+1⋅an+2an⋅an+1=2，所以an+2an=2，因此数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a1+a3+a5+a7+⋯+a19=1−2101−2=1023.故选D.
7．（2026·辽宁沈阳模拟）多选 在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3=12，则（ ）
A. q=2
B. 数列{lgan}是公差为2的等差数列
C. S8=510
D. 数列{Sn+2}是等比数列
【答案】ACD
【解析】由题意可得a1+a1q3=18,a1q+a1q2=12,解得a1=2,q=2或a1=16,q=12,因为{an}的公比q为整数，所以a1=2,q=2，故A正确；{an}的通项公式为an=2×2n−1=2n，则lgan=lg2n=nlg2,所以lga1=lg2，且当n≥2时，lgan−lgan−1=nlg2−(n−1)lg2=lg2，所以数列{lgan}是首项为lg2,公差为lg2的等差数列，则B错误；因为a1=2,q=2，所以S8=2×(1−28)1−2=510，所以C正确；由于Sn=2×(1−2n)1−2=2n+1−2，所以Sn+2=2n+1=2⋅2n，所以数列{Sn+2}是公比为2的等比数列，则D正确.故选ACD.
8．记数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，则{an}的前n项积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】212n2+12n+1
【解析】由题知Sn=4×2n−1=2n+1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n，又a1=S1=4不满足上式，所以an=4,n=1,2n,n≥2,故{an}的前n项积为4×22×23×⋯×2n=212n2+12n+1.
9．（2025·浙江宁波模拟）已知数列{an}是正项数列，若a22=16，且3an2−5anan−1−2an−12=0，n≥2，则a6=_ _ _ _ .
【答案】64
【解析】因为当n≥2时，3an2−5anan−1−2an−12=0，所以3(anan−1)2−5⋅anan−1−2=0，即(anan−1−2)(3⋅anan−1+1)=0，又an>0，所以anan−1=2，因此{an}是等比数列，又a22=16，所以a2=4，因此an=a2⋅2n−2=2n，所以a6=26=64.
10．（2025·河北唐山模拟）已知数列{an}的首项a1=1，an+an+1=4×3n.
（1） 求证：{an−3n}是等比数列；
（2） 求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】
（1） 证明：因为an+an+1=4×3n，所以an+1=4×3n−an，
于是an+1−3n+1=4×3n−an−3n+1=3n−an=−(an−3n)，即an+1−3n+1an−3n=−1，
因此{an−3n}是公比为−1的等比数列.
（2） 由于a1=1，所以a1−3=1−3=−2，因此{an−3n}是首项为−2，公比为−1的等比数列，
于是an−3n=−2×(−1)n−1=2×(−1)n，所以an=3n+2×(−1)n.
所以Sn=31+32+⋯+3n+2×[(−1)1+(−1)2+⋯+(−1)n]=
3(1−3n)1−3+2×(−1)n−12=
3n+12−52+(−1)n.
能力强化练
单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，解答题每题12分，共25分.
11．若两个等比数列{an},{bn}的公比相等，且a1+b1=1,2a2+a3+2b2+b3=0，则数列{an+bn}的前7项和为（ ）
A. −43B. 43C. −47D. 47
【答案】B
【解析】设等比数列{an},{bn}的公比均为q(q≠0)，则an+1+bn+1=anq+bnq=(an+bn)q，
又a1+b1=1≠0,故an+1+bn+1an+bn=q，故数列{an+bn}是以1为首项，q为公比的等比数列，
由2a2+a3+2b2+b3=0得a3+b3=−2(a2+b2)，得q=−2,
所以数列{an+bn}是以1为首项，−2为公比的等比数列，
所以数列{an+bn}的前7项和为1−(−2)71−(−2)=43.故选B.
12．一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进1个单位长度，接着后退12个单位长度，再前进14个单位长度，接着后退18个单位长度，以此类推.足够长的时间后，蜗牛将在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是（ ）
A. 34B. 23C. 5−12D. 22
【答案】B
【解析】将该蜗牛前进一次后退一次称为一次行动，
在第1次行动中，蜗牛前进了1−12=12个单位长度；
在第2次行动中，蜗牛前进了14−18=18=12×14个单位长度；
在第3次行动中，蜗牛前进了116−132=132=12×(14)2个单位长度，
因此在第n次行动中，蜗牛前进了12⋅(14)n−1个单位长度，
记n次行动后，蜗牛总共前进了Sn个单位长度，则Sn=12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]，
易知数列{Sn}是递增数列，且恒有Sna4，则q30，所以q12+q6−6=0，
所以q6=2，
所以S24=S12+(S24−S12)=S12+q12S12=S12(1+q12)=5S12=60.
（2） 证明：由（1）知，q6=2，
易知S6,S12−S6,S18−S12,⋯ ,S6n+6−S6n是以S6为首项，q6为公比的等比数列，
所以S6n+6=S6+(S12−S6)+(S18−S12)+⋯+(S6n+6−S6n)=S6(1−q6n+6)1−q6=S6⋅q6n+6−S6=2S6⋅q6n−S6，
又S6n+6−S6n=S6×(q6)n=S6×q6n，
所以S6n+6=2S6⋅q6n−S62S6n.
思维创新练
16．（2026·湖南长沙模拟）（5分）债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性.一种常用的债券现值计算公式为PV=∑ni=1Ci(1+r)i+Fn(1+r)n，其中PV为债券现值，n表示债券的期限（单位：年），Ci为第i年的利息，Fn为n年后的债券面值，r为贴现率.若PV=72,r=0.05，Ci=2.1i，则F5F4=（ ）
A. 12B. 13C. 23D. 14
【答案】D
【解析】因为PV=∑ni=1Ci(1+r)i+Fn(1+r)n，其中PV=72,r=0.05，Ci=2.1i，所以当n=5时，∑5i=12.1i(1+0.05)i=2.11(1+0.05)1+2.12(1+0.05)2+⋯+2.15(1+0.05)5=2+4+8+⋯+32=2×(1−25)1−2=62，所以PV=∑5i=12.1i(1+0.05)i+F5(1+0.05)5=62+F5(1+0.05)5=72，解得F5=10×1.055.
同理可得F4=42×1.054，
所以F5F4=10×1.05542×1.054=10×1.0542=14.故选D.