2027年高考物理一轮复习学案练习含答案11-第十一章 安培力与洛伦兹力 03-专题突破18 带电粒子在磁场中的运动综合问题（教用）

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带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、速度大小或方向不确定、运动的周期性等形成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。分析此类问题要抓住以下两点：
（1）找出多解的原因；
（2）画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
考向1 带电粒子电性不确定形成多解
例1 多选 如图，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直于磁场射入。不计粒子重力，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是（ ）
A. qBdmB. (2+2)qBdm
C. qBd2mD. (2−2)qBdm
【答案】BD
【解析】若带电粒子带正电，速度最大时对应轨迹为图中与NN′相切的14圆弧，则轨迹半径R=mvBq，又d=R−Rsin45∘ ，解得v=(2+2)Bqdm；若带电粒子带负电，速度最大时对应轨迹是图中与NN′相切的34圆弧，则轨迹半径R′=mvBq，又d=R′+R′sin45∘ ，解得v=(2−2)Bqdm，故选项B、D正确。
考向2 磁场方向不确定形成多解
例2 多选 如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ向上射出一束负离子，离子所受的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为qm，速率为v，OP与OQ间的夹角为30∘ ，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（ ）
A. B>mv3qs，垂直于纸面向里B. B>mvqs，垂直于纸面向里
C. B>mvqs，垂直于纸面向外D. B>3mvqs，垂直于纸面向外
【答案】BD
【解析】当磁场方向垂直于纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin30∘=r1s+r1，可得r1=s，由r1=mvB1q可得B1=mvqs；当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动轨迹与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系可得s=r2sin30∘+r2，解得r2=s3，又r2=mvqB2，所以B2=3mvqs。综合上述分析可知，B、D正确，A、C错误。
甲乙
考向3 临界状态不唯一形成多解
例3 多选 如图，在等腰梯形abcd区域内（包含边界）存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad=dc=bc=l，ab=2l。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为（ ）
A. 23qBl5mB. 43qBl5mC. 63qBl5mD. 53qBl6m
【答案】AC
【解析】粒子不从bc边射出，其临界点分别是从b点和c点射出，其临界轨迹如图所示，当粒子从c点飞出时，由几何关系有r1=ac=3l，若粒子从b点飞出时，由几何关系有r2=233l，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有qvB=mv2r，整理得r=mvqB，综上所述，有rr1，解得v3qBlm，故选A、C。
考向4 运动的周期性形成多解
带电粒子在分布不同场的空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解。
例4 （2025·山东济宁二模）多选 如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直于纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（ ）
A. 3qBLmB. 2qBLmC. qBLmD. 2qBL3m
【答案】AC
【解析】粒子可能的轨迹如图所示，由几何关系得n⋅2Rsin30∘=3L(n=1,2,3,⋯)，由牛顿第二定律得qv0B=mv02R，解得v0=3qBLnm(n=1,2,3,⋯)，n=1时v0=3qBLm；n=3时v0=qBLm，故A、C符合题意。
题型二 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键
（1）通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
（2）寻找临界点常用的结论
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速度v的大小一定时，弧长或弦长（圆心角不超过180∘）越长，圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v的大小变化时，圆心角越大的，运动时间越长。
④在圆形匀强磁场中，若运动轨迹圆半径大于区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦中直径最长）。
（3）数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”和“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”和“二次方程的判别式”等求极值。
考向1 “放缩圆”
例5 多选 如图所示，边长为2L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为−q的带电粒子从D点以不同的速率沿平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子可能从B点射出
B. 若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为32L
C. 若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为πm3qB0
D. 若粒子从AB边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
【答案】CD
【解析】带负电的粒子从D点以速率v沿平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，但由于BC边的限制，粒子不能到达B点，A错误。若粒子从C点射出，如图甲所示，根据几何关系可得R2=(R−Lsin60∘)2+(2L−Lcs60∘)2，解得R=3L；粒子运动轨迹对应的圆心角的正弦值为sin∠O=2L−Lcs60∘R=32，则∠O=60∘ ，粒子在磁场中运动的时间为t=60∘360∘T=16×2πmqB0=πm3qB0，B错误，C正确。若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，运动轨迹的半径越大，如图乙所示，粒子从AB边射出时轨迹对应的圆心角θ 相同，且为最大，根据t=θ360∘T、T=2πmqB0知粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长，D正确。
考向2 “旋转圆”
例6 如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠C=30∘ ，∠D=45∘ ，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子，速度方向用与OC的夹角θ 表示，电子质量为m，电荷量为−e，且满足v0=BeLm，不计电子重力和电子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A. 从AC边射出的电子占总电子数的六分之一
B. 从AD边射出的电子占总电子数的二分之一
C. 从OD边射出的电子占总电子数的三分之一
D. 所有从AC边射出的电子中，当θ=30∘ 时，所用的时间最短
【答案】B
【解析】由于电子源发射的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有ev0B=mv02R，解得R=mv0eB=L，即所有电子运动轨迹的半径都相等，由左手定则可知，电子进入磁场后顺时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时θ=60∘ ，如图所示，当0∘≤θ≤60∘ 时，电子从AC边射出，由几何关系可知从AC边射出的电子占总电子的60∘180∘=13，故A错误；OD=OA=L，所以当60∘≤θ≤150∘ 时，电子从AD边射出，由几何关系可知从AD边射出的电子占总电子的90∘180∘=12，故B正确；当150∘≤θ≤180∘ 时，电子从OD边射出，由几何关系可知从OD边射出的电子占总电子的30∘180∘=16，故C错误；电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有T=2πRv0，在磁场中运动的时间为t，有tT=α2π，整理得t=αmeB，即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，圆心角所对应的弦长越短，其圆心角越小，所以最短时间对应弦长的最小值，过O点作AC的垂线，交AC于E点（图中未画出），则所有从AC边射出的电子中，从E点射出的电子所用时间最短，由几何关系可知此时θ 不等于30∘ ，故D错误。
考向3 “平移圆”
例7 多选 如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=π6。现垂直于AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t0（不计重力及粒子间的相互作用），则下列说法中正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B. 该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt0
C. 粒子在磁场中运动的轨迹半径为25d
D. 粒子进入磁场时速度大小为3πd5t0
【答案】ABC
【解析】根据题意，粒子垂直于AB边射入，垂直于AC边射出时经过四分之一个周期，即14T=t0，解得T=4t0，A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=mv2R，解得R=mvqB，粒子运动的周期T=2πRv=2πmqB=4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B=πm2qt0，B正确；由题意可知，当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为43t0=13T，则在磁场中转过的圆心角为120∘ ，如图所示，根据几何关系可知Rsinπ6+Rsinπ6=d，解得R=25d，C正确；根据T=2πRv可知，v=2πRT=2π⋅25d4t0=πd5t0，D错误。
温馨提示 请完成《分层突破训练》课时作业59分析
图例
带电粒子可能带正电，也可能带负电，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B垂直于纸面向里，其轨迹为a；若B垂直于纸面向外，其轨迹为b
分析
图例
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能从入射界面反向飞出，于是形成多解
适用条件
入射点相同，速度方向一定、大小不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共线
运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上
临界轨迹确定方法
缩放轨迹圆
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界轨迹
适用条件
入射点相同，速度大小一定、方向不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径为r=mv0qB，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r=mv0qB的圆上
临界轨迹确定方法
旋转轨迹圆
将半径为r=mv0qB的轨迹圆以入射点为定点进行旋转，从而探索粒子的临界轨迹
适用条件
入射点在同一直线上，且速度大小、方向均相同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r=mv0qB，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹确定方法
平移轨迹圆
将半径为r=mv0qB的圆沿入射点所在直线进行平移，从而探索粒子的临界轨迹