安徽省六安市霍邱县2025—2026学年度九年级第一次模拟考试数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份安徽省六安市霍邱县2025—2026学年度九年级第一次模拟考试数学试卷（含解析）中考模拟，共14页。试卷主要包含了考试结束后，请将“答题卷”交回等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
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2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在，0，，2这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较出四个数的大小即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个数中，最小的数为，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式及二次根式的性质，根据对应运算法则分别计算各选项即可判断正误．
【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，A选项错误；
B、积的乘方等于每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，，B选项错误；
C、根据完全平方公式，C选项错误；
D、根据二次根式的性质，D选项正确．
3. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为，
故选：A．
4. 榫卯（sǔn mǎ）是中国古代建筑的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用俯视图的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：根据题意可得俯视图是：．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根；列出方程，求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：C．
6. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 随的增大而增大B. 图象经过第二、三、四象限
C. 图象过点D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象的性质逐一判断即可
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，
当时，，当时，，
∴图象过点不过点，当时，，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选D．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，并且当时，y随x增大而增大，当，y随x增大而减小．
7. 为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
A. 分享的书籍数量的众数是6本
B. 分享的书籍数量的平均数是3本
C. 分享的书籍数量的中位数是4本
D. 分享的书籍数量的方差是2.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义，依次计算各统计量，判断选项正误即可．
【详解】解：总人数为，总书籍数量为：，
众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误；
平均数：本，∴平均数为4本，B错误；
中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确；
方差：
，
∴方差为，D错误．
8. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，可得，即可求出，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵恰好垂直于边，
∴．
9. 如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A. 1B. 2C. 4D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】取斜边中点，得，设，则BP2+CP2=BC2+x2+BC2−x2=BC22+2x2，由勾股定理得代入变形求解即可．
【详解】解：取斜边中点，
∵是等腰直角三角形，
则，且，
设，则BP2+CP2=BC2+x2+BC2−x2=BC22+2x2，
在中，由勾股定理：，
则2=BC22+x2，
即：，
故．
10. 已知二次函数，当时，则下列说法正确的是( )
A. 当时，有最小值
B. 当时，有最大值
C. 当时，无最小值
D. 当时，有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．
【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝=，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，
此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【详解】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：．
13. 如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________．
【答案】15
【解析】
【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得的度数，据此可求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. 如图，的直角顶点在第四象限，顶点、分别落在反比例函数图象的两支上，且轴于点，轴于点，分别与轴，轴相交于点和．已知点的坐标为．请探究以下问题：
（1）__________；
（2）当的面积和四边形的面积相等时，点的坐标为__________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）由点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；
（2）设，则，利用三角形的面积公式求出和关于的方程，再求出关于的方程，根据的面积和四边形的面积相等即可得出的值，从而求出点的坐标．
【详解】解：（1）把代入中得，；
（2）设，
∵轴于点，轴于点，点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、立方根，再合并即可．
【详解】解：原式．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）请画出与关于x轴对称的．
（2）绕O点逆时针旋转后得到，请画出，求线段在旋转过程扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点，先找出对应点位置，再首尾连接即可得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质得出对应点位置，再首尾连接即可得到△A2B2C2，根据扇形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
如图，根据题意可得：，首尾连接即可，即为所求；
【小问2详解】
如图，由旋转的性质得出对应点，然后顺次连接，即为所求；
∵，
∴
答：线段在旋转过程中扫过的图形是扇形，面积是．
本题考查了作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形的面积计算，正确得出对应点是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察下面三行数组：
第一行：1 4 9 16 25…
第二行：0 3 8 15 24…
第三行：2 6 12 20 30…
根据规律，解答以下问题：
（1）第一行第7个数是__________；
（2）第二行第个数是__________（用含的式子表示）；
（3）第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值．
【答案】（1）49 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子；
（2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子；
（3）找出第三行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再根据题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，，…
∴第一行第n个数为，
∴第一行第7个数是；
【小问2详解】
解：∵，，，，…
∴第二行第个数是；
【小问3详解】
解：∵，6=22+2，12=32+3，20=42+4，…
∴第三行第个数是；
∵第三行第个数与第二行第个数的差为2027，
∴m2+m−m2−1=2027，
整理得m+1=2027，
∴．
18. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：）
【答案】约为
【解析】
【分析】设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值即可．
【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，
由题意得：，
解得：，（大于，舍去）．
，
答：每天“遗忘”的百分比约为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 请根据以下素材，完成探究任务．
任务一：计算右边档案盒的顶点到它所靠的档案盒的距离；
（1）求的长（结果保留整数）；
任务二：求出每个档案盒的厚度
（2）求的长（结果保留整数）；
【答案】（1）约为21cm
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）推导出，列方程构造等量关系即可求解．
【小问1详解】
在中，，，
，
答：的长约为；
【小问2详解】
由题意得：，
，
，
，
设每一个档案盒的厚度为，
在Rt中，，
，
，解得：，
即每一个档案盒的厚度．
20. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质可得，再结合三角形内角和定理得出，结合题意可得，即可得证；
（2）连接交于点，证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，设，则，，，证明为的中位线，得出，由勾股定理可得，从而可得，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图：连接交于点，
，
，
，
是的切线，
，
为的直径，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
由，可设，则，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
六、（本题满分12分）
21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
A．决策类人工智能 B．人工智能机器人
C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能
（1）填空：______，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________；
（2）若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人；
（3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率．
【答案】（1）；；
（2）200 （3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
（1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用800乘以B的频率，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：调查的学生人数为（人），
∴，，
C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：（人）
故答案为：；
【小问3详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种，
∴这两位同学选的项目一样的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证即可；
（2）过作于，过作于，则PM∥BC∥QN，，，设正方形边长为，结合求出，，代入求解即可．
【小问1详解】
证明：∵正方形中，，，绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
在和中
BC=DC∠BCP=∠DCQCP=CQ
∴
∴
【小问2详解】
过作于，过作于，过作于，
∴PM∥BC∥QN，四边形CMPF是矩形，
∴PF=MC，
∴，，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，，
∴
由（1）得
∴QN=PF，
∴QN=PF=MC=a，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
，
∴
∴．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1．
（1）求的值；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求的值；
②若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①或；②2
【解析】
【分析】（1）先求得的顶点横坐标，然后再根据抛物线的对称轴公式解答即可；
（2）①先求得和，表示出点B的坐标，代入抛物线解析式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可；
②根据题意先求得x1=1−m，y1=−m2+1，表示出点B的坐标，代入抛物线解析式，得到n=m2+2，根据平方的非负性即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数，
顶点为，即顶点横坐标为1，
二次函数的顶点横坐标为，
即对称轴为直线，
，
解得；
【小问2详解】
解：①由（1）知，
抛物线解析式为，
当时，则y1=−12+2×1=1，
，
，
，
∴B1+m,1+3m，
点在抛物线上，
∴1+3m=−1+m2+41+m，
整理得，
解得或；
②，
，
在抛物线，
∴y1=−x12+2x1=−1−m2+21−m=−m2+1，
点在抛物线上，
∴y1+n=−x1+m2+4x1+m，
∴−m2+1+n=−1−m+m2+41−m+m=−1+4=3，
，
∵，
∴当时，为最小值．
书籍数量/本
2
3
4
5
6
人数/名
3
4
5
6
2
素材一
如图（1），一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1个档案盒向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在左边的档案盒上．
素材二
其示意图如图（2），经测量知书架内侧长度，，档案盒高度．
（参考数据：，，）
项目
选择人数
频率
A．决策类人工智能
8
a
B．人工智能机器人
b
0.25
C．语音类人工智能
28
c
D．视觉类人工智能
24
0.3
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）