安徽六安市霍邱县2025~2026学年度第一学期期末考试+九年级数学试卷（试卷+解析）

这是一份安徽六安市霍邱县2025~2026学年度第一学期期末考试+九年级数学试卷（试卷+解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果线段，，那么和的比例中项是（ ）
A B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，则得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
9. 如图，下列条件中不能判定是（ ）
A. B.
C D.
10. 如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 一定平行于
C. 若，则D. 四边形的面积
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）
11. 抛物线的对称轴是直线_______．
12. “水瓶琴”是一种通过敲击装有不同水量的瓶子来发声的打击乐器，也被称为“音乐瓶”．实验发现，当液面高度与瓶高的比值为黄金数时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若当，且敲击时发出音符“”的声音时，则______．
13. 若反比例函数图象如图所示，则的值可以为______（写出一个符合要求的即可）．
14. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，沿翻折，使点落在处，连接，过点作交于点，延长交于点．
（1）______；
（2）的长为_______．
三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）
15. 计算：．
16. 已知，求和的值．
17. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
18. 在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内．
（1）求最佳测量点到地面的距离；
（2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）；
（2）求的边上的高长．
20. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．
（1）试说明；
（2）若，求证：．
21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
22. 如图1，在锐角中，，平分交边于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点是上一点，且，若，连接．
（i）求的值；
（ii）若的面积为15，求的面积．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数图象过点．
（1）求的值；
（2）已知二次函数最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
霍邱县2025~2026学年度第一学期期末考试九年级数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）
1. 下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，符合题意；
B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
D、当时，不二次函数，不符合题意；
故选：A．
2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数（为常数，）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与对比即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为，
∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为，
∵，
∴四个点中，只有点在该反比例函数图象上，
故选：C．
3. 如果线段，，那么和的比例中项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可．
【详解】解：设和的比例中项是，
由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
又∵线段长度为正数，
∴，
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，则得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移原则，并准确应用于顶点式函数．
原抛物线的顶点为，向左平移1个单位后，顶点变为；根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，再与选项对比得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
将其向左平移1个单位，顶点坐标变为，即．
因此，平移后的抛物线解析式为．
故选：B．
5. 如图，，且，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应角相等是解决问题的关键．
由即可得到，从而确定答案．
【详解】解：，
，
故选：D．
6. 如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小关系．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴离对称轴越近，函数值越小
又∵点在对称轴上，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴，
故选：C．
7. 如图，在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角函数定义及勾股定理，熟记勾股定理求线段长的方法及三角函数值定义是解决问题的关键．
数形结合，在中，由，可设，再由勾股定理求出长度，最后根据求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在中，，，则设，
由勾股定理可得，
则，
故选：A．
8. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象与x轴交点问题，需分一次函数与二次函数两种情况讨论，当时函数为一次函数，与x轴必有交点；当时函数为二次函数，则判别式，最后综合两种情况得到k的取值范围．
【详解】解：当时，函数为，是一次函数，
令，则，解得，即函数与x轴有交点，符合题意．
当时，函数为二次函数，则需满足判别式，
∴
∴，
∴且．
综上，，
故选：C．
9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定选项B、C；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定选项A、D．
【详解】解：A、由，，不能判定，因为相等的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
B、因为，，所以，故本选项不符合题意；
C、因为，，所以，故本选项不符合题意；
D、由，可得，又因为，所以，故本选项不符合题意．
故选：A．
10. 如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 一定平行于
C. 若，则D. 四边形的面积
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，，然后将代入即可判断，然后证明四边形是平行四边形，进而可判断D；根据平行四边形的性质可判断B；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断C．
【详解】解：四边形是矩形，反比例函数，
设，，则点，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
则，
，
，
∴当时，，，
∴，
把代入，得，
，
，故A错误；
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，故D错误；
四边形是平行四边形，
，故B正确；
，
四边形是平行四边形，
若，
，
，
，且，则，
，
，
直线的解析式为，
，且，
，
，故C错误．
故选：B．
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）
11. 抛物线的对称轴是直线_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12. “水瓶琴”是一种通过敲击装有不同水量的瓶子来发声的打击乐器，也被称为“音乐瓶”．实验发现，当液面高度与瓶高的比值为黄金数时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若当，且敲击时发出音符“”的声音时，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的性质可得，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 若反比例函数图象如图所示，则的值可以为______（写出一个符合要求的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，涉及解不等式组，数形结合得到满足的不等式组解集是解决问题的关键．
由图中点与反比例函数图象的位置关系得到当时，，解得；当时，，解得；从而得到，任意取满足范围的值即可得到答案．
【详解】解：由图可知，当时，，解得；当时，，解得；
综上所述，，
则可取，
故答案为：（答案不唯一）．
14. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，沿翻折，使点落在处，连接，过点作交于点，延长交于点．
（1）______；
（2）的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
（1）根据正方形的性质得出，，根据折叠性质得出，，，根据角的和差关系得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案；
（2）设，则，利用勾股定理列方程可求出的值，即可求出，，，利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：（1）∵正方形的边长为，点是边的中点，
∴，，，，
∵沿翻折，使点落在处，
∴，，，
∵，延长交于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）设，
由（1）得，，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，（与点重合，不符合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
先分别计算出各个特殊角的三角函数值，再由含乘方的有理数混合运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：
．
16. 已知，求和的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据得到，进而可得，再由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
17. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】此题考查的是勾股定理，相似三角形的判定；
（1）先证明是等腰直角三角形，求出，再根据邻补角和勾股定理求解即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明．
【小问1详解】
解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由（1）同理可得：
∵，，，，
∴，，
∴，
∴．
18. 在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内．
（1）求最佳测量点到地面的距离；
（2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）m
（2）旗杆的高度是m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，包括坡度坡角问题和仰角俯角问题，解题的关键是通过作辅助线，将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和三角函数进行求解．
（1）根据斜坡坡度，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而得到的长度．
（2）过点作，构造矩形，得到，，再在中，利用求出的长度，最后由计算出旗杆的高度．
【小问1详解】
解：如图，由题意得，是直角三角形，
∵斜坡的斜面坡度，
∴．
设，
∵，
∴，
解得：，
则．
【小问2详解】
解：过点作，交于点，
由（1）知，
∵，
∴．
由题意可得，四边形是矩形，则，
在中，，
∵ ，
∴，
∴
答：旗杆的高度是．
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）；
（2）求的边上的高长．
【答案】（1）见解析 （2）边上的高长为2
【解析】
【分析】本题考查了作图—位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据位似变换的性质作图即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所作，
【小问2详解】
解：∵与位似比为2，
∴，且相似比为2，
∵边上的高为1，
∴边上的高长为2．
20. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．
（1）试说明；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。
（1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论；
（2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。
【小问1详解】
解：∵，
，
，
。
【小问2详解】
证明：，
，
，
．
，
．
又，
．
21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用．
（1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式；
（2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质求最大利润．
【小问1详解】
解：由题意得：，
化简得：；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w的最大值为1125元，
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．
22. 如图1，在锐角中，，平分交边于点．
（1）求证：；
（2）如图2，点是上一点，且，若，连接．
（i）求的值；
（ii）若的面积为15，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii）的面积
【解析】
【分析】（1）过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，从而，根据平行线分线段成比例和等量代换，易得，，即可求证；
（2）（i）利用“”说明，得，等量代换，即可求解；（ii）根据题意，易求，又根据，可得，最后根据面积之间的关系，可求．
【小问1详解】
证明：如图，过点作，交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
；
【小问2详解】
（i），
，
，且，
，
，
，
且，
，即，
（ii），的面积，
的面积，
且，
，即，
，
，即．
本题考查角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，面积之间的关系等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数的表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．