2027年高考物理一轮复习学案练习含答案01-第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究 05-专题突破2 追及相遇问题（教用）

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题型一 解决追及相遇问题的三种方法
方法1 情境分析法
以甲追乙为例，只要v甲v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。所以追及、相遇问题有一个条件，两个关系：
（1）一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
（2）两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
注意抓住一个条件，用好两个关系。认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图。
方法2 数学解析法
方法3 图像法
将两个物体运动的速度-时间关系或位移-时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题。若为x−t图像，两图线的交点表示相遇；若为v−t图像，应抓住速度相等时的“面积”关系找两物体的位移关系。
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自=6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。
（1） 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2） 经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
【答案】（1） 2s6m
（2） 4s12m/s
【解析】
（1） 情境分析法
如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自=at1，
甲
所以t1=v自a=2s，
Δx=v自t1−12at12=6m。
一题多解（1）数学解析法：设汽车在追上自行车之前经过时间t1，汽车和自行车相距为Δx，则Δx=v自t1−12at12，
代入已知数据，由二次函数求极值的条件知t1=2s时，Δx有最大值，为6m，
所以t1=2s时，汽车和自行车相距最远，此时距离为Δx=6m。
图像法：自行车和汽车的v−t图像如图乙所示。由图乙可以看出，在相遇前，t1时刻汽车和自行车速度相等，相距最远，此时的距离为阴影部分的面积，所以有
乙
t1=v自a=63s=2s，
Δx=v自t12=6×22m=6m。
（2） 情境分析法
当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2=12at22，
解得t2=2v自a=2×63s=4s，
此时汽车的速度v2=at2=12m/s。
一题多解（2）图像法：由图乙画出的v−t图像可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t=t2所围的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2=2t1=4s，v2=at2=3×4m/s=12m/s。
例2 有两辆汽车在平直路面上一前一后朝着相同方向匀速行驶，前车速度vA=16m/s，后车速度vB=18m/s，当后车与前车相距L=20m时，前车以大小aA=4m/s2的加速度刹车，后车司机看到前车刹车灯亮起，然后以大小aB=6m/s2的加速度刹车，已知后车司机的反应时间t0=0.5s。
（1） 求后车刚开始减速时两车之间的距离；
（2） 请通过计算判断两车是否发生了追尾事故。
【答案】（1） 18.5m
（2） 见解析
【解析】
（1） 反应时间t0内前车行驶的位移大小为xA=vAt0−12aAt02=7.5m，
后车行驶的位移xB=vBt0=9m，
两车之间的距离x=L+xA−xB=18.5m。
（2） 设从前车开始刹车起经过t时间两车共速，则有
vB−aB(t−t0)=vA−aAt，
解得t=2.5s，
此时，前车位移大小为
LA=vAt−12aAt2=27.5m，
后车位移大小为
LB=vBt0+vB(t−t0)−12aB(t−t0)2=33m，
共速时两车之间的距离ΔL=L+LA−LB=14.5m>0，所以不会发生追尾事故。
例3 （2025·宁夏石嘴山三模）一鲨鱼发现正前方x0处有一条小鱼，立即开始追捕，同时小鱼也发现了鲨鱼，立即朝正前方加速逃离。两条鱼的v−t图像如图所示，两者在同一直线上运动。则下列说法正确的是（ ）
A. 鲨鱼加速阶段的加速度大小为5m/s2
B. t=2s时两条鱼速度相等
C. 当x0=6m时鲨鱼恰好能追上小鱼
D. 当x0=8m时鲨鱼追了小鱼4s，此时鲨鱼与小鱼之间的距离为7.5m
【答案】B
【解析】根据v−t图像的斜率表示加速度可知，鲨鱼加速阶段的加速度大小为a=20−63.5m/s2=4m/s2，故A错误；由题图可知，两条鱼速度相等对应的时刻t=Δva=14−64s=2s，根据v−t图线与横轴围成的面积表示位移可知，在0～2s内，鲨鱼比小鱼多运动的位移大小为Δx=12×(6−2)×2m=4m，可知当x0=4m时鲨鱼恰好能追上小鱼，故B正确，C错误；当x0=8m时鲨鱼追了小鱼4s，该段时间内鲨鱼和小鱼的位移分别为x鲨=12×(6+20)×3.5m+20×0.5m=55.5m，x鱼=12×(2+26)×4m=56m，则此时鲨鱼与小鱼之间的距离为Δx′=x0+x鱼−x鲨=8m+56m−55.5m=8.5m，故D错误。
总结归纳
能否追上的判断方法
题型二 自由落体运动和竖直上抛类运动中的相遇问题
例4 一个小球a从地面以初速度v0竖直向上抛出，另一小球b在高为H处同时自由下落，不计空气阻力，重力加速度为g，两小球均可视为质点。
（1） 若两小球能在空中相遇，求相遇的时间；
（2） 初速度v0取何值时，可以在小球a上升阶段相遇；
（3） 初速度v0取何值时，可以在小球a下降阶段相遇。
【答案】（1） Hv0
（2） v0>gH
（3） gH>v0>gH2
【解析】
（1） 相遇时满足12gt2+v0t−12gt2=H，所以t=Hv0。
（2） 要想在小球a上升阶段相遇，则0