福建省福州市清华附中福州学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题含答案解析

这是一份福建省福州市清华附中福州学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题含答案解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．9B．1C．D．
3．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
4．与的结果不相等的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，中，，，，若点D为中点，连接，则的长为（ ）
A．B．5C．D．10
6．已知一次函数，随着的增大而减小，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．aD．
8．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my
10．A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从B地到A地用的时间为分钟；④当乙到达A地时，甲离B地的距离为米．上述说法正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③D．②④
二、填空题
11．函数的自变量的取值范围是_______________．
12．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，则的长为 _____．
13．已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解是___________．
14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾，弦，则小正方形的边长是__________.
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的坐标是 _____．

16．如图，在中，，点为边上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则______．
三、解答题
17．计算：
18．在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：．
19．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________；
(2)观察图象，当时，的取值范围是______________；
(3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式．
20．如图，已知在中，点D在边上．

(1)求作四边形，使得，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状．
21．规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题．
（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
．．．
(1)______________；
(2)__________________；
(3)求出的值．
22．综合实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离．
(1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？
(2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？
(3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
23．某种机器工作前先将空油箱加满（加油过程），然后停止加油立即开始工作（加工过程）．当停止工作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱里的油量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．
（1）机器加油过程中每分钟加油量为______升，机器加工过程中每分钟耗油量为______升；
（2）求机器加工过程中关于的函数解析式；
（3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出此时的值．
24．（1）如图1，在正方形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点．若，求证：；
（2）如图2，是的角平分线，分别在上，且，若，请探究线段与线段之间满足的等量关系，并加以证明．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点，，，．
(1)_____________，_______________，点的坐标为______________；
(2)如图，点是直线上的一个动点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)直线上有一点，在平面直角坐标系内找一点，使得以为一边，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点的坐标．
《福建省福州市清华附中福州学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．B
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故此选项符合题意；
C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值， 将点的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
故选：C．
3．B
【难度】0.94
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角．
【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角．
故选：B．
4．C
【难度】0.85
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、同类二次根式
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算出，再计算各选项所给式子，进而得到答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
5．B
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理及勾股定理．根据勾股定理求出，再根据直角三角形的斜边中线定理即可求出．
【详解】解：由勾股定理得：，
在中，，是中点，
∴，
故选：B．
6．D
【难度】0.94
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，，当，时，函数图象经过第一，二，三象限；当，时，函数图象经过第一，三，四象限；此时函数图象，随着的增大而增大；当，时，函数图象经过第一，二，四象限；当，时，函数图象经过第二，三，四象限；此时函数图象，随着的增大而减小，进行解答，即可．
【详解】解：∵，随着的增大而减小，
∴，
∵，
∴，，函数图象经过第一，二，四象限；
故选：D．
7．D
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，根据菱形的性质得到，由此推出是等边三角形，得到，即可求出菱形的周长，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形是周长，
故选：D．
8．C
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的图像及其平移变换，以及代入法求解未知数，解题的关键在于理解直线平移后方程的变化规律．根据平移规律，向上平移m个单位，解析式加上m，再将已知点坐标代入新方程求解m的值即可．
【详解】解：设平移后的解析式为： ，
将点，代入方程得 ，
解得： ，
故选：C．
9．C
【难度】0.85
【知识点】写出命题的逆命题、判断是否为互逆命题
【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；
C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
10．B
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离．
【详解】解：由题意可得，
甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确；
由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误；
乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确；
当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确；
正确的有①③④；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．
【难度】0.85
【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
∴，
故答案为：．
12．6
【难度】0.85
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，再结合点E是的中点得出是的中位线，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：6．
13．
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键．
根据两条直线的交点的意义，即可求解．
【详解】解：直线与直线相交于点，
方程组即的解是，
故答案为：．
14．1
【难度】0.94
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】根据勾股定理计算即可解题．
【详解】解：根据勾股定理可得，
∴小正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形、根据矩形的性质求线段长
【分析】先根据两点距离公式可求AC的长，再根据矩形的性质求得，再根据点B在x轴上，即可求解．
【详解】
解：连接，

∵点A，，点C，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵点B在x轴上，
∴点B的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
16．
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】延长，过点E作，交的延长线于点G，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：延长，过点E作，交的延长线于点G，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
即，
解得：或（舍去），
在中根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判断和性质，勾股定理，余角的性质，平行线的判断，平行四边形的判断和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形证明．
17．7
【难度】0.65
【知识点】实数的混合运算、运用平方差公式进行运算、零指数幂、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的化简与加减运算，零指数幂，平方差公式，熟练计算相关性质是解题的关键．
先计算二次根式的除法、零指数幂，运用平方差公式进行计算，然后进行加减计算即可．
【详解】解：
18．见解析
【难度】0.94
【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】依据平行四边形的性质，即可得到，，，判定，即可得到．
【详解】在平行四边形中，，，，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
19．(1)4
(2)
(3)或
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点，
画出函数图象，如图，
此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
故答案为：4
（2）解：观察图象，当时，的取值范围是；
故答案为：
（3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为，
∴平移后的直线的函数解析式为或．
20．(1)见解析
(2)矩形
【难度】0.65
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定：
（1）如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求．
（2）先由平行四边形的性质得到，，再证明得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质证明，即可证明四边形是矩形．
【详解】（1）解：如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求．

（2）解：由作图方法可知四边形 为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
21．(1)
(2)
(3)88
【难度】0.65
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、与实数运算相关的规律题、数字类规律探索
【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．
（1）利用题中规律即可求出的值即可；
（2）根据的变化规律直接得出答案即可；
（3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：∵（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
∴；
故答案为：；
（3）解：
．
22．(1)
(2)
(3)能，理由见详解
【难度】0.85
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解；
（3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，进行比较即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴这架云梯顶端距地面的距离的高为；
（2）解：，，
∴，
∴；
（3）解：能，理由如下，
云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，
∴相对安全的距离为不小于，
∵高的墙头有求救声，云梯的长为，
∴，
∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
23．（1）9，1；（2）；（3）5或55
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据（2）中的函数解析式和（1）中的加油的速度，令函数值为90÷2，即可得到相应的x的值．
【详解】解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：90÷10=9（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（90-10）÷（90-10）=1（L），
故答案为：9，1；
（2）当10＜x≤90时，设y关于x的函数解析式为y=ax+b，
，
解得，，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y=-x+100（10＜x≤90）；
（3）当9x=90÷2时，x=5
当-x+100=90÷2时，得x=55，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是55．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（1）见解析；（2），见解析
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化．
（1）如图1，在边上截取，连接．根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到；
（2）在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据等量代换即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，在边上截取，连接．
正方形中，，，
，
，
，
，
是的平分线上一点，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）．
理由：在上取一点，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
∴，
，
又，
，即，
，
，
，
．
25．(1)，，；
(2)或；
(3)或或．
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合、根据菱形的性质与判定求线段长、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】把点的坐标代入，求出的值，把点的坐标代入，求出的值，再根据直线的解析式求出点的坐标；
因为点在直线上，设点的坐标为，根据的面积为，分点在点左侧和点在点右侧两种情况求解；
点在直线上，设点的坐标为，当是菱形的边时，则有，根据两点之间的距离公式可列方程，解方程即可求出点的坐标，根据点的坐标求出点的坐标；当是菱形的对角线时，根据菱形的对称性可知点的纵坐标为，可得方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标，根据菱形的对称性求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
点的坐标是；
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标为；
故答案为：，，；
（2）解：由可知直线的解析式为，
当时，，
点的坐标是，
当时，，
点的坐标是，
，
解方程组，
可得：，
点的坐标是，
设点的坐标为，
当点在直线下方时，
，
解得：或(不符合题意，舍去)，
当时，，
点的坐标是；
当点在直线上方时，
如下图所示，
，
解得：或(不符合题意，舍去)，
当时，，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点在直线上，
设点的坐标为，
如下图所示，
当为菱形的边时，
则有，
，
解得：或，
当时，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的坐标为；
当为菱形的对角线时，
如下图所示，
菱形的对角线互相垂直平分，
点和点的纵坐标为，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、求一次函数的解析式、菱形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据菱形的性质找到边之间的关系，再根据边之间的关系求出点的坐标．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
B
D
D
C
C
B