第一章 三角形的证明 问题解决策略：反思-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

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第一章 三角形的证明问题解决策略：反思【素养目标】1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点)2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(难点)【复习导入】问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？【合作探究】问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BD和CE分别是边AC ，AB 上的中线。求证：BD = CE 。1.理解问题：已知条件是什么？目标是什么？ 将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？2.拟订计划 (1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？(2) 以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？ 其中哪些三角形有可能全等？ (3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？(4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。 3.实施计划按照下述思路写出证明过程， 并说明每一步的理由。 (1) 通过△ABD≌△ACE ，证明 BD = CE 。 (2) 通过△CBD≌△BCE ，证明BD = CE 。4.回顾反思(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。 (3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BD和CE分别是边AC，AB上的高。求证：CE = BD。 (4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？拓展：如果把原题中的 BD 、 CE 分别是边AC和AB上的中线换成 BD、CE 分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CE和BD还相等吗？ 例1 证明命题 “全等三角形对应边上的中线相等” 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′, AD 和 A′D′分别是边 BC , B′C′上的中线。 求证： AD = A′D′ . 例2 将0∼9这10个数字填写到图中10个圆圈内， 使得相邻两数差的绝对值的和最大。 当堂反馈1. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC ，点 E 在BC的延长线上，且 ∠EDC = 30∘.求证：△BDE是等腰三角形。2. 如图，在△ABC中，AB = AC ，D是BC边的中点， DE⊥AB , DF⊥AC ，垂足分别为 E、F . 求证：DE = DF .变式1: 在上图中，若点 D , E , F 分别是 BC , AB , AC 边的中点。 DE与DF 依然相等吗？ 变式2：在上图中，如果 DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，DE 与 DF 还有相等的数量关系吗？ 参考答案【复习导入】问题：等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高， 中线， 角平分线三线合一； 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.【合作探究】1. 理解问题 AE =12AB ， AD = 12AC2. 拟订计划 (1) 证明两条线段所在的三角形全等、 利用等腰三角形的性质(等角对等边)、 利用线段的垂直平分线性质等。(2) 以CE为边的三角形：△ABD、△BDC 。以 CE 为边的三角形：△ACE、△BCE 。△ABD与△ACE有可能全等。△BDC与△BCE有可能全等。(3) △ABD与 △ACE有可能全等。已知相等的边或角：AB=AC (已知)，∠A=∠A (公共角), AD=AE (由AB=AC及中线定义可得)不需要再证明其他边或角相等，可根据 “SAS” (边角边) 判定三角形全等。(4)思路：先根据中线定义和 AB=AC 得出 AD=AE ，再利用“SAS”证明 △ABD≌△ACE ，最后由全等三角形对应边相等得出 BD = CE 。 3.实施计划(1) 解：∵BD 是 AC 边上的中线，∴AD =12AC ; ∵CE 是 AB 边上的中线， ∴ AE =12AB ;又 ∵ AB = AC,∴ AD = AE 。又 ∵∠A =∠A (公共角),∴△ABD≌△ACE (SAS).∴BD = CE .(2) 解： ∵BD 是 AC 边上的中线， ∴ CD =12AC ; ∵CE 是 AB 边上的中线， ∴ BE =12AB ；又 ∵ AB = AC ,∴∠ABC=∠ACB,BE=CD 。又 ∵ BC = BC (公共角),∴△CBD≌△BCE (SAS)。∴ BD = CE .回顾反思(1) 答案不唯一， 比如更喜欢第一种方法。 理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角， 结合中线定义得到全等条件， 步骤相对更简洁直接， 从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。(2) 还能得到∠ABD=∠ACE , ∠ADB=∠AEC等结论 (由 △ABD≌△ACE ，全等三角形对应角相等)；也能得到 ∠CBD =∠BCE (由△CBD≌△BCE , 全等三角形对应角相等)。(3) 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ， BD和CE分别是边 AC ，AB 上的高。求证：CE = BD 。 证明如下： ∵△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC =∠ACB .∵CE⊥AB,BD⊥AC ,∴∠BEC =∠CDB = 90∘.∵ BC = CB∴△BEC≌△CDB (AAS).∴CE = BD .(4) 已知：如图在△ABC中，BD 、CE 分别是边 AC 和 AB 上的中线， CE=BD ， 求证：△ABC是等腰三角形。 证明： 连接 DE 延长至 F ，使 DE=FE ，连接 BF .∵CE 是边 AB 上的中线， ∴AE=BE∵DE=FE,∠AED=∠BEF,AE=BE ,∴△AED≌△BEF (SAS).∴∠A=∠FBE,AD=BF .∵BD 是边 AC 上的中线，∴AD=DC=BF .∵∠BDC=∠A+∠ABD,∠DBF=∠FBE+∠ABD .∴∠BDC=∠DBF .∵DC=BF,∠BDC=∠DBF,BD=DB , ∴△BDC≌△DBF (SAS).∴∠CBD=∠FDB.∴FD∥BC .延长 BC 至点 G ，使 CG=DE ,∵FD∥BG,∴∠EDC=∠GCD .∴△EDC≌△GCD (SAS).∴EC=GD=BD , ∠ECD=∠GDC .∴EC//DG.∴∠ECB=∠G=∠DBC .∵EC=DB,BC=CB,∴△EBC≌△DCB (SAS).∴∠EBC=∠DCB . ∴△ABC 是等腰三角形。拓展：相等。 理由： 设 BD,CE 相交与点 O .∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB . ∵BD、CE 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线， ∴∠EBO=∠CBO=∠OCB=∠OCD .∴OB=OC .∵∠EOD=∠DOC,∴△EOB≌△DOC .∴EO=DO.∵EO+OC=DO+OB ,∴CE=BD .例1 证明： ∵△ABC≌△A′B′C′ ,∴AB=A′B′,∠B =∠B′,BC=B′C′ . ∵ AD, A′D′ 是 BC 和 B′C′ 上的中线，∴ BD =12 BC, B′D′=12B′C′. ∴BD=B′D′ . 在 △ABD与△A′B′D′ 中， AB=A′B′,∠B=∠B′,BD=B′D′,∴△ABD≌△A′B′D′.∴AD=A′D′ .例2 解： 如图所示 (答案不唯一).当堂反馈 1. 解： ∵△ABC 是等边三角形， BD⊥AC ,∴根据等边三角形的性质，∠ABC=∠BCA=60∘ ，∠DBC = 12∠ABC = 30∘ .∵∠EDC = 30∘ ,∴∠E =∠ACB−∠EDC= 60∘−30∘= 30∘∴∠DBC =∠E = 30∘ .∴BD = DE . ∴△BDE 是等腰三角形。2. 证明： ∵DE⊥AB,DF⊥AC ,∴∠DEB =∠DFC = 90∘ .又 ∵AB=AC ,∴△ABC 是等腰三角形， ∴∠B=∠C .∵D 是 BC 边的中点，∴DB=DC . ∴△EBD≌△FCD (AAS),∴DE=DF .变式1: 证明： ∵E、F 分别为 AB,AC 的中点，∴AE=12AB, AF=12AC.又 ∵AB=AC,∴AE=AF .∵ D是BC边的中点，而△ABC为等腰三角形 ∴ AD 为 ∠BAC 的角平分线。∴△AED≌△AFDSAS ,∴DE=DF .变式2：证明：∵AB=AC,D 为 BC 的中点。 ∴AD⊥BC,AD 平分 ∠BAC .而 DE,DF 分别是 ∠ADB,∠ADC 的平分线。 ∴∠ADE=∠ADF,∠DAE=∠DAF . 在△AED和△AFD中，∠ADE=∠ADF AD=AD∠DAE =∠DAF∴△AED≌△AFD (ASA), ∴DE = DF .