第一章回顾与思考教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》 回顾与思考教学设计 学科 数学年级八课型新授课单元一课题回顾与思考课时1课标要求了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握公理、定理及证明的书写格式。 掌握三角形性质和判断定理。 掌握线段的垂直平分线、平分线的性质定理和判定定理。 了解原命题逆命题的概念，会识别两个命题是否互逆。教材分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.具体复习内容为：三角形的内角和；等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题。复习分为三个环节：1、构建知识框架。2、知识梳理。3、考点讲练。4、布置作业。学情 分析本章是初中几何的“分水岭”，标志着学生从“直观实验几何”过渡到“演绎推理几何”阶段。 学生已具备的知识：三角形、全等三角形的相关知识，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 具备的技能：掌握了尺规作图、能识别基本的几何图形，有一定的识图能力。具有初步的逻辑感知。 认知困难：从“看图说话”到逻辑推演的思维断层；符号语音表达不规范；辅助线添加的策略缺失；特殊三角形性质的混淆。核心素养目标1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等. 2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力. 3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点通过考点讲练对所学知识进行复习巩固。教学难点本章知识的综合性应用。教学 准备教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、知识框架三角形 线段的垂直平分线 角平分线 三 角 形 内 角 和 与 外 角 直角三角形 等边三角形 等腰三角形 判断定理 性质定理 判断定理 判断定理 性质定理 性质定理 勾股定理 逆定理 勾股定理 展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品） 引导学生完善本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、知识梳理 一、三角形的内角和 1、三角形的内角和定理： 三角形的三个内角和等于180°. 2、三角形的内角和定理推论（1）： 三角形的外角等于不相邻的两个内角和. 3、三角形的内角和定理推论（2）： 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 练一练 1．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的 ，则这个三角形各内角的度数分别为( B   ) A．60°,90°,75° B．48°,72°,60° C．48°,32°,38° D．40°,50°,90° 2.已知：P是△ABC内一点。求证：∠BPC＞∠BAC 证法一：连接AP并延长交BC于点D ∠DPC=∠PCA+∠PAC ① ∠DPB=∠PBA+∠PAB ② ①+②∠DPC+∠DPB=∠PCA+∠PAC+∠PBA+∠PAB ∠BPC=∠BAC+∠PBA+∠PCA ∴∠BPC＞∠BAC 证法二：连接AP并延长交BC于点D ∠DPC＞∠PAC ∠DPB＞∠PAB ∠DPC+∠DPB＞∠PAC+∠PAB ∠DPC+∠DPB=∠BPC，∠PAC+∠PAB=∠BAC ∴∠BPC＞∠BAC 二、等腰三角形 1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形； 2、性质定理： （1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； （2）（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。 3、判定定理： （1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 练一练 1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　A　） A．20° B．40° C．50° D．80° 2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是_【16cm或17cm】 3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是【8】cm。 三、等边三角形 1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形； 2、性质定理： （1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°； （2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一） 3、判定定理： （1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 练一练 1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为【cm】。 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝【15】度 3.下列三角形：①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ D ） A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 4.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小． 解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ， ∴△APQ是等边三角形.∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60° ∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ. ∴∠B = ∠APQ = 30°， ∠C = ∠AQP = 30°. ∴∠BAC=180°-∠B -∠C=120 °. 四、直角（Rt）三角形 1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； 2、性质定理： （1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （2）（定理）直角三角形两锐角互余； （3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 3、判定定理： （1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； （2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 4、三角形全等 （1）、性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （2）、判定： 三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、 Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL” 练一练 1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝【3】。 2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　D　） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 3.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC． 证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAD=∠ABC=90°. 在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=AC，EA=AB， ∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL). ∴∠AED=∠BAC. ∵∠EAF+∠BAC=90°， ∴∠EAF+∠AED=90°， ∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC. 4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM（等角对等边） 说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。 五、线段的垂直平分线 1、性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3、三角形三边的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），并且这一点到三个顶点的距离相等。 练一练 1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=【35°】。 2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（　A　） A.10 B.8 C. 5 D 2.5 3.已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长 证明： ∵ DE是AB边的中垂线 （已知）， ∴AE=BE（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）． ∴AE+EC=BE+EC=8cm（等式性质）. 又∵ BC=6cm（已知） ∴ C△BEC=BE+EC+BC =8+6=14cm 六、角平分线 1、性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理）： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3、三角形三条角平分线的性质： 三角形三条角平分线交于一点（内心），并且这一点到三条边的距离相等。 练一练 1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是【4】。 2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（　B　） A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线 已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【解答提示】作∠AOB的平分线，作CD的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点P即为所求 七.反证法与互逆命题 1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转. 2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定理。梳理知识点。 完成相应练习在回顾与思考中建立本章的知识框架图的基础上，对等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题进行梳理，并完成课堂练习，加强学生运用知识解决实际问题的能力。三、考点讲练考点一 ：等腰（等边）三角形的性质与判定 例1：如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC. 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系. 证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示 则∠1=∠2=∠BAC;∵AB=AC,∴AE⊥BC ∴∠2+∠C=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90° ∴∠2=∠DBC ∴ ∠BAC= 2∠DBC. 【方法总结】 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段. B A C D 课堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)∵AD⊥BC， ∴∠ BAD= ∠CAD; BD=DC. (2) ∵AD是中线， ∴AD⊥BC; ∠BAD= ∠CAD. (3) ∵ AD是角平分线， ∴AD⊥BC ;BD =DC. 考点二：勾股定理 例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长． 解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， ∴BD= 【方法总结】： 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰． 课堂练习 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　D　） A.25 B.14 C.7 D.7或25 3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝　 　． 考点三 勾股定理的逆定理 例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n－1，b＝2n，c＝n＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形． 解：由于a＋b＝(n－1)＋(2n)＝n＋2n＋1， c＝(n2＋1)＝n＋2n＋1， 从而a＋b＝c， 故可以判定△ABC是直角三角形． 【方法总结】 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出a＋b和c的值(c边最大)；③判断a＋b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 课堂练习 4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有【(2)(4)】． 考点四 命题与逆命题 例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上． 解：(1)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假． (2)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题． 【方法总结】 命题的结构如果…那么…，前半部分是条件，后半部分是结论，把原命题的条件和结论互换得到原命题的逆命题。9个基本事实，已经证明过的定理都是真命题，其他命题需要证明真伪。 课堂练习 5.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）若x=1，则x=1；（2）若|a|=|b|，则a=b. 解：（1）逆命题：若x=1，则x=1．是假命题. （2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题. 6.下列语句中不正确的是（　C　） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．有两边对应相等的两个直角三角形全等 C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 考点五 线段的垂直平分线 A B C D E 例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC，BD=CD. ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE. 【方法总结】 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查. E A B D 课堂练习 C 7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 【18cm】. 8.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有【① ② ③】（填序号） 考点六 角平分线的性质与判定 A B C D E F 例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：EB=FC. 分析：先利用角平分线的性质定理得到 DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 课堂练习 9. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=【60】度，BE= 【BF】 . C A 10.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 【3】 E B D F D C B A G A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 考点七 本章的数学思想与解题方法 分类讨论思想 例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长. 解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm， 根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , ∴x-8= ; 若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8