福建泉州市洛江区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

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（满分150分：考试时间：120分钟）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
2. 如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大到原来的3倍B. 缩小到原来的倍
C. 不变D. 缩小到原来的6倍
【答案】A
【解析】
【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论．
【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后，
新分式为，
所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍．
3. 泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：.
4. 下列各图象中，变量不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的定义，有两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此逐项判断即可．
【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数，
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标系中点的特征，非负数的性质，熟练掌握相关知识是关键．
由非负数的性质判断点的横纵坐标的符号，从而确定象限．
【详解】解∵，
∴，
∵，，
∴点在第二象限．
故选：B．
6. 已知一次函数的图象经过三个点，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知时，y随x的增大而减小，只需比较三个点的纵坐标大小，即可推得横坐标的大小关系．
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小．
∵三个点的纵坐标满足，对应点分别为，，，
∴横坐标满足，即．
7. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键；
根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可．
【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两，
用20两买牛，牛的数量为头，
用15两买羊，羊的数量为只，
则，
故选A．
8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象位于第二、四象限
B. 当时，随的增大而减小
C. 图象经过点
D. 若点都在图象上，且，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误，
∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确，
∵将代入，得∴图象不经过点，C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误．
故选：B．
9. 若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的运算，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．将左边通分后与右边比较分子，得到关于A和B的方程，解出A和B后代入计算．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 分子相等：，
∴ 比较系数：
解得：，
∴ ．
故选：D．
10. 如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案．
【详解】解：∵点在的图象上，
∴，
∴点，
∵轴，轴，C，D两点在的图象上，
∴四边形是矩形，
∴点，，
∴，，，，
，
∴，，
∴
，
故选：B．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11. 若分式的值为0，则x的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，熟练掌握 “分式值为零的条件是分子为零且分母不为零” 是解题的关键，根据分式值为零的条件，分子为零且分母不为零．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
经检验时分母不为0，
故答案为：3．
12. 计算__________．
【答案】
1
【解析】
【分析】本题主要考查分式的加减运算，根据同分母分式减法法则，分子相减，分母不变．
【详解】解：．
故答案为：1．
13. 一次函数的图象经过点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
14. 如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________．
【答案】7（答案不唯一，k大于6即可）
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，求出，与点比较后得到，即可得到的取值范围，据此得到答案．
【详解】解：过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，
∵点，当时，，即，
由图可知，，
∴，
则的值可能是7，
故答案为：7（答案不唯一，k大于6即可）
15. 如果关于的方程无解，则______．
【答案】或0##或
【解析】
【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值．
【详解】解：原方程为，
两边同乘（），得，
即，
整理得，
当即时，方程变为，无解；
当时，解为，
若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解；
综上，或
故答案为：或
16. 在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线，
（1）直线恒过的定点坐标是___________；
（2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________．
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围．
（1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标；
（2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围．
【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，，
∴直线恒过的定点坐标是；
故答案为：．
（2）解：当直线经过点时，将，代入，
得，解得；
当直线经过点时，将，代入，
得，解得；
∵直线恒过定点，
∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。在答题卡的相应位置内作答.）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
19. 先化简，再求值 ，其中．
【答案】；2027
【解析】
【分析】先对括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简，然后计算加法，最后代入计算求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 已知一次函数的图像经过，两点．
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）试判断点是否在这个一次函数的图像上．
【答案】（1）
（2）点不在一次函数的图象上
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的解析式和代入求值的知识点．
（1）由一次函数的图像过，两点，可求一次函数解析式；
（2）把代入（1）的函数解析式即可判断．
【小问1详解】
解：设一次函数关系式为，把，代入得：，
解得：
∴这个一次函数的关系式为；
【小问2详解】
解：∵当时，，
不在这个一次函数的图像上．
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点A的纵坐标为2．
（1）当时，求反比例函数的值；
（2）当时，求反比例函数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）求出点坐标，得到反比例函数解析式，进而求解；
（2）根据当时，反比例函数随的增大而增大即可求解．
【小问1详解】
解：∵点的纵坐标为2，代入得，
解得，
，
代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，；
【小问2详解】
解：当时，，
如图，当时，反比例函数随的增大而增大，
．
22. “歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？
【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里
【解析】
【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可．
【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：“歼”战机的速度是每小时3600公里．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，；任务2：
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质等知识．
任务1：运用待定系数法即可求得答案；
任务2：由，得，即可求得直线的解析式为与反比例函数解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】解：任务1：将点代入，得：，
解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
24. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1） ， ；
（2）当 且 时，；
（3）如图当垂直时，
猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1），
（2），
（3）①，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）结合直线解析式求得点的坐标，即可获得答案；
（2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案；
（3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案．
【小问1详解】
解：对于直线，
令，则有，故，
令，则有，
解得，故，
∴，．
故答案为：1，1；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，即．
故答案为：，；
【小问3详解】
解：①线段和的数量关系为，证明如下：
过作轴于，延长交延长线于，
则有，
∴四边形为矩形，，
由（1）知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（）．
本题是主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解．
25. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．
（1）将分式化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？
（3）当______时，分式的最大值是______．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，分式的最大值是5
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识．
（1）根据材料提供方法变形即可求解；
（2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出；
（3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵由（1）得，
∵分式的值是整数，
∴为整数，
∴当x取整数时，是3的整数因数，
∴或，
∴；
【小问3详解】
解：，
∴当取最小值时，分式有最大值．
∵，
∴，
∴当即时，，
故当时，分式的最大值是5．
天文轨道计算问题
素材1
某星际探测器的主轨道是直线．
素材2
同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本；
素材3
如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与y轴交于发射基地B；
素材4
如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D．
任务1
求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k；
任务2
如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标．