2024-2025学年上海市梅陇中学八年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2024-2025学年上海市梅陇中学八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共10页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）
1．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．能表示一次函数与正比例函数，是常数且的图象的是（ ）
A．B．C．D．
3．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．轮船的速度为20千米小时B．快艇的速度为千米小时
C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇比轮船早到2小时
4．顺次联结四边形各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
5．如图，在四边形中，对角线和相交于点．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．当 时，函数是一次函数．
8．直线的截距是 ．
9．已知一次函数，如果（a），那么实数的值为 ．
10．已知一次函数图象过点，那么当的值增大时，函数的值随之 ．（填“增大”或填“减小”
11．如果直线是由正比例函数的图象向左平移1个单位得到，那么不等式的解集是 ．
12．在平行四边形中，如果，那么 度．
13．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是 边形．
14．已知菱形的边长为，一个内角为，那么该菱形的面积为 ．
15．如图，已知正方形的边长为1，点在边上，平分，，点为垂足，那么 ．
16．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则 ．
17．如图，梯形中，，且，设，，那么关于的函数关系式是 ．
18．如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠△，使点落在点处，其中，设与相交于点，若△的面积为，则的取值范围是 ．
三、简答题（本题共4小题，第19题5分，第20题5分，第21题7分，第22题8分，共25分）
19．（5分）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）求的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，这个函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
20．（5分）在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位后与直线重合，且直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）写出点的坐标，求直线的表达式；
（2）直线与直线交于点，与轴交于点，求△的面积．
21．（7分）如图，在矩形中，，，边上有一点，连接，，．
（1）求的长；
（2）求的度数．
22．（8分）根据以下素材，探索完成任务：
四、解答题（本题共3小题，第23题8分，第24题9分，第25题10分，共27分）
23．（8分）如图，已知平行四边形，是边的中点，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）如果，求证：四边形是矩形；
（2）如果是边的中点，且，求证：四边形是菱形．
24．（9分）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角．
（1）若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为 ；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由；
（3）直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标．
25．（10分）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）联结、，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
故选：．
2．能表示一次函数与正比例函数，是常数且的图象的是（ ）
A．B．C．D．
解：、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第一、三象限，所以选项错误；
、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项错误；
、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项正确；
、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项错误．
故选：．
3．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．轮船的速度为20千米小时B．快艇的速度为千米小时
C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇比轮船早到2小时
解：轮船的速度为：千米小时，
快艇的速度为：千米小时，
故正确，错误；由函数图象可知，、正确．
故选：．
4．顺次联结四边形各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
解：已知：如图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
观察选项，只有菱形的对角线互相垂直．
故选：．
5．如图，在四边形中，对角线和相交于点．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
解：、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
6．如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：四边形是正方形，
，，
点、、分别是、、的中点，
，
在△与△中，
△△，，
，
，
，
，
，故①正确；
在△中，是边的中点，
，故④正确；
连接，
同理可得：，
，
，
垂直平分，
，故②正确；
，
同理：△△，
，
，
，
，
．故③正确．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．当 时，函数是一次函数．
解：由题意得，，
，
故答案为：．
8．直线的截距是 ．
解：直线的截距是．
故答案为：．
9．已知一次函数，如果（a），那么实数的值为 8 ．
解：把代入得（a），
解得．
故答案为：8．
10．已知一次函数图象过点，那么当的值增大时，函数的值随之 增大 ．（填“增大”或填“减小”
解：把代入，得
，
解得，
所以一次函数图象随的增大而增大．
故答案为：增大．
11．如果直线是由正比例函数的图象向左平移1个单位得到，那么不等式的解集是 ．
解：直线是由正比例函数的图象向左平移1个单位得到，
经过，
不等式的解集是：．
故答案为：．
12．在平行四边形中，如果，那么 100 度．
解：四边形为平行四边形，
，，
，
，．
．
故答案为：100．
13．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是 6 边形．
解：根据题意，设多边形的边数为，
则，．
，
解得：，
故这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
14．已知菱形的边长为，一个内角为，那么该菱形的面积为 18 ．
解：如图，过点作于点，
菱形的边长为，一个内角为，
，，
，
，
此菱形的面积为：．
故答案为：18．
15．如图，已知正方形的边长为1，点在边上，平分，，点为垂足，那么 ．
解：四边形是正方形，
，，
，
平分，交于，
，
，
故答案为：；
16．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则 3 ．
解：连接，
，是的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：3．
17．如图，梯形中，，且，设，，那么关于的函数关系式是 ．
解：
过点作，交于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
则．
故答案为：．
18．如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠△，使点落在点处，其中，设与相交于点，若△的面积为，则的取值范围是 ．
解：当点，重合时，，
此时△的面积最小，
如图1，在中，，，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
点是边上一点，连接，沿折叠△，使点落在点处，
，
，
的最小值为；
当点与点重合时，，
此时△的面积最大，
过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
在中，，，
，，
由折叠可得：，，，，
，，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
解得：，即，
，即；
取值范围是，
故答案为：．
三、简答题（本题共4小题，第19题5分，第20题5分，第21题7分，第22题8分，共25分）
19．（5分）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）求的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，这个函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
解：（1）一次函数值随自变量值的增大而减小，
，
解得：；
（2）这个函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下：
令，则，
整理得：，
，
，
，
，
这个函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴．
20．（5分）在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位后与直线重合，且直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）写出点的坐标，求直线的表达式；
（2）直线与直线交于点，与轴交于点，求△的面积．
解：（1）由条件可知，
，，
直线的解析式为，
在中，当时，，
；
（2）联立，解得，
，
在中，当时，，
，
，
．
21．（7分）如图，在矩形中，，，边上有一点，连接，，．
（1）求的长；
（2）求的度数．
解：（1）四边形是矩形，
，．
，
，
，
；
（2），，，
．
，
．
，
，
．
，
．
22．（8分）根据以下素材，探索完成任务：
解：（1）20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
设这20人中选择套餐的有人，
，
则选则套餐的有人，，
，
，
．
答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人．
（2）两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
当套餐人数不少于20人时，，
，
则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，
订餐总费用为：；
（3）两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
①当时，由（2）得：，
，
随的增大而增大，
当时总费用最小为（元，
②当时，，，
订餐总费用，
，
随的增大而增大，
时，最小为750元，
③若选择优惠方案三，订餐总费用为，
总费用满850元立减110元，
当时，订餐费用最小为（元．
综上所述，当订购套餐15份，订购套餐16份时，订餐总费用最低740元．
四、解答题（本题共3小题，第23题8分，第24题9分，第25题10分，共27分）
23．（8分）如图，已知平行四边形，是边的中点，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）如果，求证：四边形是矩形；
（2）如果是边的中点，且，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）连接，如图，
是边的中点，是边的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
四边形是菱形．
24．（9分）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角．
（1）若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为 1或 ；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由；
（3）直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标．
解：（1）直线的解析式为，
当时，，即直线必过；
直线为轴，直线的解析式为，为的半直交线，
点，直线与轴的夹角为，
，
当时：如图，，
则：，
，
，
将代入得：，
解得：；
当时：如图，
同法可得：，
将代入得：，
解得：；
综上：的值为1或，
故答案为：1或；
（2）是半直角，理由如下：
，当时，，当时，，
，，
，
点是轴上点右侧的一点，且，
，
，
点在直线上，其横坐标为，
，
过点作轴于点，
，
则，，
，，
又，
△△，
，，
，
，
，
是半直角；
（3），当时，，当时，；
，，
，，
当点在点左侧时，过点作，过点作轴于点，
则：，
，
，
直线是直线的半直交线，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
设直线的解析式为：，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
；
当点在点右侧时，过点作，交直线于点，过点作轴于点，
同法可证：△△，
，，
，
，
设直线的解析式为：，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
；
综上：的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，则或．
25．（10分）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）联结、，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
解：（1）如图，联结，过作于，
，平分，
，
在△中，，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，
在△中，；
（2）如图，联结，过点作于，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在△中，由得：，
整理得：，
点与点重合时，，
，
；
（3）如图，当在线段上时，
①当时，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
平分，
，
又，
△△，
，，
，
过作于，
在△中，，
；
②当时，，
设，则，
，
，
，
，
，，
又，
△△，
，
，
，，
在△中，，
（负值舍去）；
当点在射线上时，如图4，此时，
，
同理可得：△△，
，
过作交的延长线于，
在△中，，
，
；
综上所述：的长为2或或8．
如何制定订餐方案？
素
材
1
某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有、两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别
套餐单价
团体订购优惠方案
：米饭套餐
30 元
方案一：套餐满20份及以上打9折；
方案二：套餐满12份及以上打8折；
方案三：总费用满850元立减110元．
：面食套餐
25 元
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材
2
该班级共31位同学，每人都从、两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务
1
计算选择人数
已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务
2
分析变量关系
设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务
3
制定最优方案
要使得该班订餐总费用最低，则、套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
如何制定订餐方案？
素
材
1
某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有、两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别
套餐单价
团体订购优惠方案
：米饭套餐
30 元
方案一：套餐满20份及以上打9折；
方案二：套餐满12份及以上打8折；
方案三：总费用满850元立减110元．
：面食套餐
25 元
温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材
2
该班级共31位同学，每人都从、两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务
1
计算选择人数
已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务
2
分析变量关系
设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务
3
制定最优方案
要使得该班订餐总费用最低，则、套餐应各订多少份？并求出最低总费用．