2021-2022学年上海市普陀区梅陇中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市普陀区梅陇中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分)

1. 以下函数中，属于一次函数的是(    )

A.  B. 、为常数
C. 为常数 D.

2. 一次函数的图象不经过下列哪个象限(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列方程中，在实数范围内有解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在下列关于的方程中，不是二项方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一个凸多边形的内角中最多有几个锐角(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共12小题，共24分)

7. 一次函数的图象与轴的交点坐标是______．
8. 直线在轴上的截距是，则______．
9. 函数的图象向下平移个单位，所得新图象的函数表达式是______．
10. 已知一次函数的图象不经过第二象限，那么函数值随自变量的值增大而______ 填“增大”或“减小”．
11. 已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是______只要写出一种情况
12. 已知关于的分式方程有增根，则______．
13. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______．
14. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形共有______条对角线．
15. 用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于的整式方程是______．
16. 已知一次函数的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是______．

17. 一水池的容积是，现有蓄水，用水管以每小时的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量与进水时间小时之间的函数关系式并写出自变量的取值范围______．
18. 已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，在直线上有一点，连接、，三角形是等腰三角形，则点的坐标为______．

三．解答题（本题共8小题，共58分)

19. 解方程：．
20. 解方程：．
21. 解方程组：．
22. 解方程组：．
23. 已知一次函数的图象平行于直线，且经过点．
    求这个一次函数的解析式；
    求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积．
24. 小王开车从甲地到乙地，去时走线路，全程约千米，返回时走线路，全程约千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快千米小时，所用时间却比返回时多分钟．若小王返回时的平均车速不低于千米小时，求小王开车返回时的平均速度．
25. 疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，、两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
    公司方案：无纺布的价格万元与其重量吨是如图所示的函数关系；
    公司方案：无纺布不超过吨时，每吨收费万元；超过吨时，超过的部分每吨收费万元．
    求如图所示的与的函数解析式；不要求写出定义域
    如果甲厂所需购买的无纺布是吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．

26. 已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且，，作的垂直平分线，交直线与点，交轴于点．
    求点的坐标；
    在的垂直平分线上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标；
    在的条件下，连结、，判断的形状，并给予证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数的定义回答即可．
【解答】
解：、是一次函数，故A正确；
B、时，不是一次函数，故B错误；
C、不含一次项，不是一次函数，故C错误；
D、自变量的次数不为，不是一次函数，故D错误．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据一次函数的解析式判断出、的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当时，函数图象经过第二、四象限，当时，函数图象与轴相交于正半轴．
【解答】
解：解析式中，，，
图象过第一、二、四象限，
图象不经过第三象限．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
分别求出每个方程的解，再检验即可得．
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
【解答】
解：解此方程得，经检验是方程的增根，此方程无解，不符合题意；
B.由此方程得，此方程无解，不符合题意；
C.由得，解得，符合题意；
D.方程中，此方程无解；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：把各方程移项，使等号右边为，满足二项方程的是、、，
由于方程移项后左边是三项，故选项D不是二项方程．
故选：．
根据二项方程的定义逐个判断得结论．
本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数，
函数的图象经过二、三、四象限，
故选D．
根据，由一次函数的性质即可判断出函数的图象所经过的象限．
本题考查的是一次函数的性质及一次函数图象与系数的关系：
，的图象在一、二、三象限；
，的图象在一、三、四象限；
 

6.【答案】 

【解析】解：一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．
理由是：因为凸多边形的外角和是度，在外角中最多有个钝角，如果超过个，则和一定大于度，多边形的内角与外角互为邻补角，
所以外角中最多有个钝角，内角中就最多有个锐角．
故选：．
根据任意凸多边形的外角和是可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角．
本题考查多边形的内角和外角，注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得：，
一次函数的图象与轴的交点坐标是．
故答案为：．
代入求出值，进而可得出一次函数的图象与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线在轴上的截距是，
直线与轴的交点是，
，
解得，
故答案是：．
根据题意，直线过点，代入计算求出值，即可得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
【解答】
解：把函数的图象向下平移个单位后，
所得图象的函数关系式为，
即．
故答案为．  

10.【答案】增大 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
，．
所以函数值随自变量的值增大而增大，
故答案为：增大；
直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象在第一、三、四象限是解答此题的关键．
 

11.【答案】． 

【解析】解：满足解是，的二元二次方程组可以是．
故答案为：．
写出满足条件的两个二元二次方程或一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组即可．
本题考查了二元二次方程组的定义，掌握方程组的解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得，
整理得，
把代入得，解得；
所以当时，原方程有增根．
故答案为．
先把分式方程化为整式方程得到，然后把代入得，再解关于的方程即可．
本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
若方程无实数解，必须，
，
故答案为：．
移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可．
本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
这个正多边形有条边；
，
这个正多边形共有条对角线．
故答案为：．
利用多边形的外角和是度，正多边形的每个外角都是，可求多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出共有多少条对角线．
本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为条．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意，设，只需将替换原式中即可
此题主要考查换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
【解答】
解：设，则原式有，整理得
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：当不等式时，一次函数的图象在轴上方，因此．
故答案为：．
一次函数的图象在轴上方时，，再根据图象写出解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了函数关系式，正确理解题意是解题关键．直接利用进水时间速度总水量，进而得出答案．
【解答】
解：水池蓄水量与进水时间小时之间的函数关系式为：．
故答案为：．  

18.【答案】或或 

【解析】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，
，，
，
设，
则，或
解得或或
或或；
综上，点的坐标为或或，
故答案为：或或
利用一次函数求得、的坐标，然后利用勾股定理即可求得的坐标．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到勾股定理的运用等，难度不大，分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

19.【答案】解：整理得：，
两边平方得：，
，
解得或．
经检验是原方程的解． 

【解析】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
整理后变形为，两边平方，把无理方程转换为平时常见的方程的形式．
 

20.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得，．
检验：把代入，
所以是原方程的增根．
把代入，
原方程的解为． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

21.【答案】解：．
由得，，
则或，
，此方程组无解，
，
解得，，，
则原方程组的解为：，． 

【解析】把方程通过因式分解化为或，与组成方程组，解方程组即可．
本题考查的是高次方程的解法，解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
 

22.【答案】解：设，，则原方程组变形为：
，
解得，
，即，
解得，
经检验，是原方程组的解，
原方程组的解为：． 

【解析】设，，可解得，即得，可解得，再检验，即可得答案．
本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形．
 

23.【答案】解：一次函数的图象平行于直线，
，
，
把点代入得，，
解得，
所以，一次函数的解析式为，；
函数与轴、轴的交点分别为和，
所围成的图形面积． 

【解析】本题考查了两直线平行的问题，待定系数法求解析式，求直线与坐标轴围成的三角形面积，根据平行直线解析式的值相等求出值是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的值相等求出，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出值，即可得解；
首先求得函数与轴、轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可．
 

24.【答案】解：设小王开车返回时的平均速度为千米小时，
则小王开车去时的平均速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：或舍去，
经检验：是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为千米小时． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系列出关于的分式方程是解题的关键．
设小王开车返回时的平均速度为千米小时，则小王开车去时的平均速度为千米小时，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
 

25.【答案】解：设一次函数的解析式为、为常数，，
由一次函数的图象可知，其经过点、，
代入得，
解得，
这个一次函数的解析式为．

如果在公司购买，所需的费用为：万元；
如果在公司购买，所需的费用为：万元；
，
在公司购买费用较少． 

【解析】运用待定系数法解答即可；
把代入的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：过点作轴的垂线，交轴于点，
则，


，，
，，即易得，
≌，
，，，
，，
；
如图，在的垂直平分线上有一点，垂直平分线与轴的交点为，
垂直平分线与一次函数的交点，
，，
，
而，
设，则，
解的，则；
连接，，
由于点，，，
则，，，
又因为直线垂直于轴，直线垂直于轴，
所以垂直于，
是等腰直角三角形． 

【解析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等的判定与性质，三角形的面积，难度不大．
证明≌，，，，即可求解；
由，即可求解；
根据点，，，即可求解．