湖南省株洲市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省株洲市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，
得： 的虚部为 .
2. 设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）
A. 34 B. 17 C. 56 D. 68
【答案】B
【解析】
【详解】由于等差数列 的前 n 项和为 ，且 ，则
.
3. 直线 与直线 平行，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -2 或 1 D. -1 或 2
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行即可得出 的值.
【详解】由题意，
直线 与直线 平行，
∴由 ，得 或 ．
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当 时， ， ， ．
当 时， ， ， 与 重合．
故选：A.
4. 从两名老师和四名学生中选出四人排成一排照相，其中老师必须入选且相邻，共有排列方法
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】两名老师必须相邻，利用捆绑法与其余 2 人全排即可．
【详解】从四名学生中选两名共有 种可能，两位教师捆绑成一个整体参加排列，
共有 种可能排列方法.
5. 设直线 与圆 相交于 A、B 两点，且弦长为 ，则 的值是
A. 2 B. C. 0 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】利用弦长公式求解.
【详解】圆 ，圆心 ，半径为 2，
圆心 到直线 距离 ，
由弦长为 得 ，解得 .
6. 下列函数中，与函数 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出给定函数的定义域、单调性、奇偶性，再逐项分析判断作答.
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【详解】函数 定义域为 R， ，函数 是奇函数，
因 在 R 上单调递减， 在 R 上单调递减，因此函数 在 R 上单调递减，
对于 A，函数 的定义域为 ，A 不是；
对于 B，函数 是 R 上的偶函数，B 不是；
对于 C，令 ，显然 定义域为 R，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递减，并且 的图象连续，即函数 在 R 上单调递减，
当 时， ， ，当 时， ，
，
而 ，即 ， ，函数 是 R 上奇函数，C 是；
对于 D，函数 是定义域 R 上的奇函数，但不单调，D 不是.
故选：C
7. 瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图 1 所示，
其横截面如图 2 所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构建合适的直角坐标系并设出对应的双曲线方程，根据实轴长、所过的点求参数，即可得离心率.
【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点 ，实轴长为 ，即 ，
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双曲线的焦点在 轴上，设为 ，则 ，故离心率 .
8. 对任意的 ， ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数的运算性质以及基本不等式，把双变量问题变成单变量，再利用导数来研究函数的单调
性和最值.
【详解】设 ，则问题转化为不等式可化为 恒成立，
又 （当且仅当 时取等号），
所以 ，即有 在 时恒成立，
令 ，则 ，令 ，
即 ，令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在 单调递增，
又 ，即 的根为 3，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得最小值 ，所以 ，解得 .
又 ，所以 .
故选：A．
【点睛】关键点睛：
解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过
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两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简
捷、巧妙获解．
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得 0 分.）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用作差法可判断 AD；利用基本不等式可判断 C；举反例可判断 B.
【详解】选项 A： ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 .因此，A 为真命题；
选项 B：取 ， ，满足 ，
计算得 ， ， ，显然 不成立.因此，B 为假命题；
选项 C：由基本不等式，得： （ ），
两边取倒数得 ，再乘以 得 ，
由于 ，等号不成立，故 .因此，C 为真命题；
选项 D：由 ，得 且 ，
，即 .
因此，D 为真命题.
10. 已知抛物线 上两点 ， 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若直线 过 ，且 轴，则
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C. 若直线 过 ，则
D. 若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，由抛物线定义即可求得；对于 B，将 代入抛物线求解即可；对于 C，设直线方
程为 ，联立抛物线再结合韦达定理即可求解；对于 D，设 的中点为 ，根据抛物
线的性质将 M 点到 y 轴的距离表示为 ，再利用三角形两边之和大于第三边列出关于所求距离的不等式，
解该不等式即可．
【详解】对于 A，由 可知抛物线的焦点在 轴正半轴上，且 ，抛物线的准线方程为
，故 A 错误；
对于 B，因直线 过 ，且 轴，则直线 AB 的方程为 ，
将其代入 ，解得 ，故 ，故 B 正确；
对于 C，由上分析知 ，因直线 的斜率不能为 0，
故可设其方程为 ，联立抛物线方程 ，
可得 ，由韦达定理，可得 ，故 C 正确；
对于 D，如图所示，
由图知， ，当且仅当 经过点 时，等号成立，
设 的中点为 ，而 即点 到 轴的距离，因 ，
，
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即 ，解得 ，即 的中点到 轴的距离的最小值大于 2，故 D 错误．
11. 如图，在正三棱柱 中， ，点 在底面 内， ， ， ， 分别
为棱 ， ， ， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 与 所成角的余弦值为
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 若 ，则
D. 过 ， ， 三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为 （或 ）
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过构造平行线转化找到异面直线所成的角，利用余弦定理计算可得选项 A 正确；利用条件计算
可得选项 B 正确；假设 得出矛盾可得选项 C 错误；通过分割几何体的方法求体积可得
选项 D 正确.
【详解】对于 A，如图 1，
取 的中点 ，设 与 的交点为 ，连接 ，则 ，
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所以 为异面直线 与 所成的角或其补角，
连接 ，则 ， ，
所以 ，故 A 正确.
对于 B，如图 2，
连接 ，由题意得， .
因为 ， ，所以 ，
所以点 在底面 内的轨迹为以 为圆心，1 为半径的一段圆弧，且圆弧所对的圆心角为 ，
所以点 的轨迹长度为 ，故 B 正确；
对于 C，如图 3，
若 ，则点 在线段 上（不含端点）.
连接 ，因为 为正三角形，所以 ，
由正三棱柱性质可知，平面 与平面 互相垂直，且交线为 ，
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所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
假设 ，则 平面 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 与 不垂直，故 C 不正确；
对于 D，如图 4，
设过 ， ， 三点的平面与棱 交于 ，连接 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 ，则 ，
所以 为棱 的中点，故四边形 为等腰梯形，
连接 ， ， ，则平面 上方的几何体体积为：
，
，
所以平面 下方的几何体体积为 ，
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所以过 ， ， 三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为 或 ，故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决选项 D 的关键是确定截面，把截面上方的几何体分割成三个三棱锥计算体积，
作差可求得截面下方几何体的体积，由此确定答案.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 展开式中 的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.
【详解】由二项式展开式的通项公式为： ，
令 ，所以展开式中 的系数为： .
13. 小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占
，喜欢蒜蓉口味的食客占 ，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占 ，现从不喜欢蒜蓉口
味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，再计算出喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，
最后利用条件概率求解即可.
【详解】记事件 ：喜欢麻辣口味的食客；记事件 ：喜欢蒜蓉口味的食客，
则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为 ，
由题意可知 ，
则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为： ，
由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为： ，
则 ，
所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，
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则此人喜欢麻辣口味 概率为： ，
故答案为： .
14. 已 知 函 数 ， 则 在 区 间 内 的 所 有 零 点 之 和 为
__________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用诱导公式变形，将 的零点转化为方程 的根的问题，分类讨论再结合函
数的对称性计算即可.
【详解】 ，
则 等价于
若 显然上面方程不成立；
当 ，则 可化为
易知 和 都关于 中心对称，如下图所示，在 上有 8 个交点，不妨设其横坐标依
次为 ，则 ，即所有零点之和为 8.
故答案为：8
【点睛】本题考察函数与方程零点问题，属于压轴题.关键在于利用函数的性质，找到其对称中心及区间内
的零点个数.
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求 A 的大小；
（2）设点 D 为 BC 上一点，AD 是△ABC 的角平分线，且 ， ，求△ABC 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；
（2）由 AD 是△ABC 的角平分线，可得 ，从而可求出 ，进而可求出三角形
的面积.
【小问 1 详解】
因为
所以根据正弦定理得：
即
由余弦定理得：
故
又
所以 ．
【小问 2 详解】
因为 AD 是△ABC 的角平分线，由 ，
得： ，
所以
故 ．
16. 已知各项均为正数的等比数列 满足 .
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（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式；
（2）结合（1）求出 ，然后根据错位相减法求得答案.
【小问 1 详解】
设等比数列 的公比为 ，
由题意得
因为等比数列 中
，又 ，解得 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
①.
②
①-②得
所以 .
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17. 如图，在三棱柱 中，底面是边长为 2 的等边三角形， 分别是线段
的中点， 在平面 内的射影为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为棱 的中点，求直线 DF 与平面 所成角的正弦值；
（3）若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性质证得 平面 ，得到 ；再由菱形性质与中位线平行证得
，由线面垂直判定定理可证；
（2）先根据线面垂直与面面垂直关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标与平面 的法向量，再利用
线面角的向量公式计算所求；
（3）先利用向量参数化点 并求出 ，再分别求得平面 与平面 的法向量，由二面角的向量
余弦公式，结合变量代换与函数值域分析，得到取值范围.
【小问 1 详解】
连接 ，因为 为等边三角形， 为 中点，则 ，
已知 在平面 内的射影为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ，
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平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，则 ，
由题设知四边形 为菱形，则 ，
因为 ， 分别为 ， 中点，则 ，
则 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
已知 在平面 内的射影为 ，所以 平面 ，
由题设知四边形 为菱形， 是线段 的中点，所以 为正三角形，
由 平面 ， 平面 ，则 ， ，
又因为 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
可得 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，
令 ，则 ，可得 ，
记所求角为 ，
则 DF 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
由（2）知， ， ，
设 ， ，则 ，
得 ， ， ，即 ，
则 ，
由（2）知：平面 的一个法向量
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，则 ， ，可得 ；
则 ，
令 ，则 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以锐二面角 的余弦值的取值范围为 .
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18. 如图，已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 F 的动直线 与 交于 P，Q 两点，
且当 轴时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明： ；
（3）若 P 在 x 轴上方，直线 与圆 E： 交于点 B，点 B 在 x 轴上方，是否存在点 P，使
得 与 的面积之比为 4:9?若存在，求出点 P 坐标：若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）存在 ，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出 即可.
（2）按直线 的斜率是否为 0 分类，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表
示计算得证.
（3）利用椭圆的范围及两点间距离公式求出焦半径，再利用三角形面积关系，结合已知的面积比列式求出
点 坐标.
【小问 1 详解】
因为当 轴时， ，
所以点 在椭圆 上，则 ，又 ，
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联立解得 ，所以椭圆 的方程是 .
【小问 2 详解】
当 的斜率为零时， 为椭圆 长轴端点， ，
则 .
当 的斜率不为零时，设 的方程为 ，
由 消去 得 ，
，
所以 ，
而 ，则 ，
因此 ，而 共线，即 ，
由 .
【小问 3 详解】
依题意， ，而 ，
因为圆 E： 的圆心为 ，恰好为该椭圆的左焦点，
该圆的半径为 ，所以 ，
，
同理 ，
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而 ，同理可得 ，
由（2）知， ，
则
，
于是 ， ，
因此 ，
整理得 ，解得 ，或 不符合题意，
因为点 P 在 x 轴上方，所以 ，
所以 ，
所以存在 满足题意.
19. 设函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
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（2）若 是增函数，求 a 的取值范围；
（3）当 时，设 为 的极小值点，证明： ．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在 时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；
（ 2） 求 出 ， 设 ， 求 导 推 得
，根据参数 分 ， 和 三种情形，讨论函数的
单调性和零点情况，即得其取值范围；
（3）设 为 的零点，推得 ， ，分段讨论函数 的单调性，推出 ，
即得 ，即 ，则 ，设 ，求
导得出 在 上的单调性，即可求出其范围，即得证.
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
因当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【小问 2 详解】
因 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 时， 取得极小值 ，
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（ⅰ）所以当 时， ， ，所以 ， 单调递增，符合题意；
（ⅱ）当 时， ，
因为 趋近于 时， 趋近于 ， 趋近于 时， 趋近于 ，
所以 存在两个零点，
即存在区间使得 ，所以 不恒成立，不合题意；
（ⅲ）当 时，若 ，因为 的零点为 ，且 ，
则 与 有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，
所以 ，解得 ，
此时，当 时 ；
当 时 ，则
所以综上 a 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
当 时， ， ，设 为 的零点，则 ，
因为 ，所以 ，
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当 时， ， ，故 ， 在 单调递增，
当 时， ， ，所以 ， 在 单调递减，
当 时， ， ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ，且 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ，且 ，故得 ．
【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题.
对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；
对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可.
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