湖南省部分校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省部分校联考2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试卷（Word版附解析），共95页。试卷主要包含了5mm 的黑色字迹签字，考试结束后，请将答题卡上交，已知双曲线 C，已知二项式 ，则其展开式中等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若直线经过两点 ，则此直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.45° C.90° D.135°
2.计算 的值为（ ）
A.198 B.99 C.142 D.114
3.下图是函数 的导函数 的图象，则函数 的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知双曲线 C： ，则双曲线 C 的虚轴长与实轴长之比为（ ）
A. B. C. D.
5.正项等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）
A.9 B. C.18 D.9 或
6.由 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A.300 B.360 C.420 D.480
7.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C.-44 D.
8.在四棱锥 中， ，则三棱锥 的体积为
（ ）
A. B. C.1 D.2
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知二项式 ，则其展开式中（ ）
A. 的系数为 84 B.各项系数之和为-1
C.二项式系数之和为-1 D.二项式系数最大项是第 4 或 5 项
10.在等比数列 中，已知 ，其前 n 项和为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知抛物线 C： ，过其焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ､B 两点，抛物线 C
在点 A，B 处的切线交于点 P，点 M 为线段 AB 的中点，点 A 在抛物线 C 的准线上的投影为 ，则（ ）
A. B. 轴
C. D.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.二项式 的展开式中的常数项为__________.
13.已知圆 C1： 和圆 C2： 有 3 条公切线，则 m=__________.
14.直线 分别与曲线 和直线 相交于 A，B 两点，则 的最小值为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知数列 的前 n 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 n 项和 .
16.（本小题满分 15 分）
已知 在 处取得极值.
（1）求实数 a 的值；
（2）求 在[-4，3]上的最值.
17.（本小题满分 15 分）
为庆祝 3.8 妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出 10 名老师分为两支队伍，每
支队伍 5 人，并要求每支队伍至少有 2 名女老师，现高二年级共有 4 名男老师，6 名女老师报名参加比赛.
（1）高二年级一共有多少种不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成
一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
18.（本小题满分 17 分）
已知函 .
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
19.（本小题满分 17 分）
设椭圆 C： 的左､右焦点分别为 ，点 P 为 C 上异于长轴顶点的动点，且
面积的最大值为 .直线 分别交 C 于点 ， 的周长为 8.
（1）求 C 的方程；
（2）证明：以 Q，R 为焦点且经过点 F1 的双曲线也经过点 F2；
（3）设 ，当 时，求 的最大值.
高二阶段检测•数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为直线经过两点 ，则 ，设直线的倾斜角为 ，
即 ，因为 ，所以 ，故选 B.
2.D .故选 D.
3.A 导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，原函数的单调性是递减､递增､递减，符合此规律的
只有 A.
4.A 因为双曲线方程为 ，所以双曲线 的标准方程为 ，则虚轴长为 ，
实轴长为 ，所以其虚轴长与实轴长之比为 ，故选 A.
5.D 设正项等比数列 的公比为 .由 ，可得 ，所以 .所以
，解得 或 .所以 或 9.故选 D.
6.C 最后一位数是 0，偶数的个数是 ；最后一位不是 0，偶数的个数是 ，所以一共
有 种.故选 C.
7.B 由 ，有
，可得 .故选 B.
8.C 设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则点 到平面 的距离为 ，
又 ，
则点 到直线 的距离为 ，
则 ，
故三棱锥 的体积为 .故选 C.
9.ABD 的展开式的通项为 ，
对于 A，取 ，则 ，故 的系数为 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，令 ，则各项系数之和为 ，故 B 正确；
对于 C，二项式系数之和为 ，故 C 错误；
对于 D 选项，二项式系数 ，当 或 4 时 最大，故第 4 项或第 5 项二项式系数最大，D 正确；故选
ABD.
10.BC ，故 A 错误； ，故 B 正确
，故 C 正确； ，故 D 错误.故选 BC.
11.BCD 对 A，因为点 ，直线 的斜率一定存在，则设直线 的方程为： ，与抛物线
： 联立得： ，所以 ，所以 A 错误；
对 B，因为 ，则 ，因为 ，所以 ，则
，所以曲线 在点 处的切线为： ，即 ，
同理，曲线 在点 处的切线为： ，联立 ，解得 ，因为
，所以 ，点 与点 的横坐标相同，所以 轴，所以选项 B 正确；
对 ，所以 ，因为 ，当 时，
，所以 ，即 ；当 时，
点 关于 轴对称，即直线 的斜率为 0，此时 ，所以直线 的斜率不存在，所以
，综上， .所以 ，即 ，所以
选项 C 正确；
对 D，由 C 知， ，又因为 ，由抛物线定义知， ，即点 到直线 的距
离等于到直线 的距离，所以点 在 的角平分线上，即 是 的角平分线，所以
，所以选项 D 正确.综上，故选 BCD.
12.60 展开式的通项为 .令 0，得
，则 的常数项为 .
13.6 因为圆 ，所以 ；圆 ，则其标准方程为：
，则 ，因为圆 和圆 有 3 条公切线，所以圆
和圆 外切，则 ，即 ，解得 .
14. 如图所示，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，因为直线 与 的斜率均
为定值，所以 为定值，设 ，则 ，当曲线 在点 处的切线平行于直
线 时， 取得最小值，所以当 取最小值时， 取得最小值，令 ，则
，所以 ，解得 ，即 ，所以当直线 过点 时， 取
得最小值，此时 ，联立 ，得 ，此时 ，所以
的最小值为 .
15.解：（1） 且 ，有 ，
∴当 时，有
两式相减得 ，
当 时，由 ，适合 ，
所以 ；
（2）由（1）知， ，
所以
.
16.解：（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，所以 ，即 ，解得 .
当 时， ，令 ，解得 或 ，当 或 时， ；
当 时， ，所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，所以 1
符合题意；
（2）由（1）可知， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
且 ，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 .
17.解：（1）两组都是 3 女 2 男的情况有 （种）；
一组是 1 男 4 女，另一组是 3 男 2 女的情况有 （种），
所以总情况数为 （种），故一共有 120 种不同的分组方案；
（2）丙站在左 1 位，共有 （种）不同的排列方式；
丙站在左 2 位，共有 （种）不同的排列方式；
丙站在左 3 位，共有 （种）不同的排列方式；
丙站在左 4 位，共有 （种）不同的排列方式.
综上所述，共有 36 种排列方式.
18.解：（1） ，定义域为： ，
令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ；
（2）因为函数 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
由（1）可知， 的最大值为 1，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（3）若函数 在 上恒成立，即 在 成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
因为 ，所以当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 时不符合题意；
当 时，令 ，
①当 时，即 时，则 恒成立，
即 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 时符合题意；
②当 时，即 时，令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增，所以当 时， ，
所以 时，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
19.（1）解：设 ，则 的面积 .
当 时， 取最大值 ，所以 .
的周长 ，故 .
因此 或 ，
所以 的方程为 或 ；
（2）证明：由椭圆的定义知 .
所以 .
由双曲线的定义知，以 为焦点且经过点 的双曲线也经过点 ；
（3）解：由（1），当 时， 的方程为 ，设点 ，
记 ，则直线 的方程为 .
由 得 ，故 .
同理，记 ，可得 .
所以
.
故当 ，即 时， 取到最大值 .