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江苏省 南通市海门区海南中学2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题
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这是一份江苏省 南通市海门区海南中学2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题，共6页。试卷主要包含了计算的结果是，过三点A，二次函数y=ax2+bx+c，将一副三角尺等内容，欢迎下载使用。
（本卷满分150分 考试时间150分钟）
选择题（每题3分，共10题，共30分）
计算｜1-3｜的结果（ ）
A.2 B.-3 C.1 D.6
B
A
C
E
D
2.如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（ ）
A．1:1B．1:2C．1:3 D．1:4
3.计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 （ ）
A B C D
5.如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为（ ）
A．B．C．D．
6.过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.有下列结论：①b2-4ac<0；②ab>0；③a-b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是（ ）
①④B．③④C．②⑤D．③⑤
8.如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE.设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A．PD B．PB C．PE D．PC
9.将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（ ）
B．C．D．
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；
（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；
（3）AB•CD=；
（4）∠ABE=∠DCE．
A．1B．2C．3D．4
填空题（每题3分，共8题，共24分）
函数中自变量x的取值范围是 。
分解因式：a3－a= .
若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
已知双曲线经过点（2，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜0＜a2，那么b1 b2．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于 .
16.已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值 ．
17.在直角坐标系中，已知两点A、B以及动点C、D，则当以点A、 B、C 、D为顶点的四边形的周长最小时，比值为 ．
18.如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的直径长等于 ．
三。解答题（共96分）
计算（8分）（1）
化简：
20.（8分）关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
21.（14分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
22.（6分）某中学组织全校3200名学生进行了“法律法规”相关知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图．
频数
160
140
120
100
80
60
40
20
0
成绩/分
50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）则a= ▲ ，b= ▲ ，并补全频数分布直方图；
（2）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（3）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校3 200名学生中约有多少名获奖？
23.（10分）如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以
的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．
Ａ
Ｐ
Ｂ
Ｏ
（1）如果，求点运动的时间；
（2）如果点是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
24.（13分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．
25.（10分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
26.（13分）如图所示，已知二次函数的图象经过点和点.
⑴.求该二次函数的表达式：
⑵.写出该函数的对称轴以及顶点坐标；
⑶.点与点均在该函数的图象上，（其中）
且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值以及点到轴的距离.
27.（14分）如图①，在四边形的边上任取一点（点不与重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”．解决问题：
⑴.如图①，,试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
⑵.如图②，在矩形中，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点；
⑶.如图③，将矩形沿CM折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系．
分组
频数
频率
50.5~60.5
m
0.05
60.5~70.5
a
b
70.5~80.5
80
n
80.5~90.5
104
0.26
90.5~100.5
148
0.37
合计
1
（本卷满分150分 考试时间150分钟）
选择题（每题3分，共10题，共30分）
计算｜1-3｜的结果（ ）
A.2 B.-3 C.1 D.6
B
A
C
E
D
2.如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（ ）
A．1:1B．1:2C．1:3 D．1:4
3.计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 （ ）
A B C D
5.如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为（ ）
A．B．C．D．
6.过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.有下列结论：①b2-4ac<0；②ab>0；③a-b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是（ ）
①④B．③④C．②⑤D．③⑤
8.如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE.设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A．PD B．PB C．PE D．PC
9.将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（ ）
B．C．D．
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；
（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；
（3）AB•CD=；
（4）∠ABE=∠DCE．
A．1B．2C．3D．4
填空题（每题3分，共8题，共24分）
函数中自变量x的取值范围是 。
分解因式：a3－a= .
若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
已知双曲线经过点（2，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜0＜a2，那么b1 b2．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于 .
16.已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值 ．
17.在直角坐标系中，已知两点A、B以及动点C、D，则当以点A、 B、C 、D为顶点的四边形的周长最小时，比值为 ．
18.如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的直径长等于 ．
三。解答题（共96分）
计算（8分）（1）
化简：
20.（8分）关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
21.（14分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
22.（6分）某中学组织全校3200名学生进行了“法律法规”相关知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图．
频数
160
140
120
100
80
60
40
20
0
成绩/分
50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）则a= ▲ ，b= ▲ ，并补全频数分布直方图；
（2）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（3）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校3 200名学生中约有多少名获奖？
23.（10分）如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以
的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．
Ａ
Ｐ
Ｂ
Ｏ
（1）如果，求点运动的时间；
（2）如果点是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
24.（13分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．
25.（10分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
26.（13分）如图所示，已知二次函数的图象经过点和点.
⑴.求该二次函数的表达式：
⑵.写出该函数的对称轴以及顶点坐标；
⑶.点与点均在该函数的图象上，（其中）
且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值以及点到轴的距离.
27.（14分）如图①，在四边形的边上任取一点（点不与重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”．解决问题：
⑴.如图①，,试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
⑵.如图②，在矩形中，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点；
⑶.如图③，将矩形沿CM折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系．
分组
频数
频率
50.5~60.5
m
0.05
60.5~70.5
a
b
70.5~80.5
80
n
80.5~90.5
104
0.26
90.5~100.5
148
0.37
合计
1
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