贵州省黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年高三第二次诊断性检测数学试卷（含答案解析）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年高三第二次诊断性检测数学试卷（含答案解析），共9页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知数列满足，则，若集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A．56383B．57171C．59189D．61242
4．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )
A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年
C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年
6．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．5D．
7．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
8．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )
A．1B．C．D．
9．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
12．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列B．依次成等差数列
C．依次成等差数列D．依次成等差数列
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____
14．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．
15．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，（）.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.
18．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若，，，求证：.
20．（12分）已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：（，且）.
21．（12分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数.
22．（10分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】
解：
，
，
．
故选：．
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
2．C
【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为.
∵为线段的中点，
∴，则为等腰三角形.
∴
由双曲线的的渐近线的性质可得
∴
∴，即.
∴双曲线的离心率为
故选C.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
3．C
【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，
公差为的等差数列，记数列
则
令，解得.
故该数列各项之和为.
故选：C.
本题考查等差数列的应用，属基础题。
4．D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
5．D
【解析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，
则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，
将图3近似画出如下平面几何图形：
则，，
．
，
估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：．
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
6．B
【解析】
据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设与交于点，以为原点，的方向为轴，的方向为轴，建立直角坐标系，
则，，，，，
所以.
故选：B.
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
7．B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
8．B
【解析】
首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.
【详解】
联立方程：可得：，，
结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：
.
本题选择B选项.
本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.
9．C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
10．B
【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.
【详解】
依题意，；
而
，
故，
则.
故选：B.
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
11．A
【解析】
向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．
【详解】
解：向量，，
，则，即，
或者-1，
所以是或者的充分不必要条件，
故选：A．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
12．C
【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】
依次成等差数列，，
正弦定理得，
由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C.
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
14．
【解析】
由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求
【详解】
由，得，解得.
因为，所以，，
所以.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题
15．
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
16．0.42
【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.
【详解】
由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高二家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为；
2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为；
3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为.
由加法公式，知事件发生的概率为.
故答案为：
本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）；（3）不能，证明见解析
【解析】
（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；
（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.
【详解】
（1），
，
曲线在点处的切线方程为，
，
解得.
（2）记，
整理得，
由题知，对任意恒成立，
对任意恒成立，即时，，
，解得，
当时，
对任意，，，
，
，即在单调递增，此时，
实数的取值范围为.
（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：
记，，
则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，
，
当时，，
记，则，
在单调递增，
，即，
，
在单调递增，至多有一个零点；
当时，
记，
则，
在单调递增，即在单调递增，
至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.
因此，不可能有三个零点.
关于的方程不可能有三个不同的实根.
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.
（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结
因为为菱形，所以.
因为，所以.
因为二面角为直二面角，所以平面平面，
且平面平面，所以平面所以
因为
所以是平行四边形，所以.
所以，所以，所以平面，
又平面，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
设
设平面的法向量为，由，
取.
平面的法向量为 .
所以二面角余弦值为.
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19．（1），.（2）见解析
【解析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】
解：（1）不等式可化为.
即有或或.
解得，或或.
所以不等式的解集为，故，.
（2）由（1）知，，即，
由，得，，
当且仅当，即，时等号成立.故，即.
考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.
20．（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；
（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.
【详解】
（1）∵函数在上单调递减，
∴，即在上恒成立，
∴，
又∵函数在上单调递增，
∴，即在上恒成立，，
∴综上可知，.
（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，
在上为增函数，而，
∴当时，，当时，.
∴
∴
即，
∴.
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.
(2) ,有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.
【详解】
（1）的定义域为,,当时,,所以在单调递减；当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.
（2）,有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,
,当时,,当时,.
如图可知
①当时,有唯一零点,即有唯一零点；
②当时,有两个零点,即有两个零点；
③当时,有唯一零点,即有唯一零点；
④时,此时无零点,即此时无零点.
本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.
22．（1）28种；（2）分布见解析，.
【解析】
（1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）X的可能取值为，再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.
【详解】
解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
故X的概率分布为：
所以.
本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.
黄赤交角
正切值
0.439
0.444
0.450
0.455
0.461
年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
满意度评分分组
合计
高一
1
3
6
6
4
20
高二
2
6
5
5
2
20
满意度评分
评分70分
70评分90
评分90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
X
0
1
2
3
P