2026届贵州省黔西南市重点中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省黔西南市重点中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，文件包含26届高考作文考前预测主题07人生选择与职业方向原卷版pdf、26届高考作文考前预测主题07人生选择与职业方向解析版pdf等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若，则的最小值为（ ）
参考数据：
A．B．C．D．
3．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
5．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．72种
6．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．①③④
8．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
9．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
11．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
12．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
14．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.
15．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
16．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
18．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
19．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．
21．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.
（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且，求实数的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.
22．（10分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：
（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；
（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，
参考数据：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
2、A
【解析】
首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.
【详解】
由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
3、C
【解析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5?
本题选择C选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
4、A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
5、C
【解析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.
【详解】
不同分配方法总数为种.
故选：C
【点睛】
此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.
6、B
【解析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，
当时，；当时，；当时，.
时，，时，，
当或时，；当时，.
故选：
【点睛】
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.
7、A
【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】
由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；
,,则,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
8、D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
9、C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
10、D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
11、B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
【点睛】
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
12、D
【解析】
由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．
【详解】
，且，，
∴的值可以为．
故选：D．
【点睛】
考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.
【详解】
因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，
故，解得，因为，所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.
14、
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】
由等比数列的性质可得，，
由于与的等差中项为，则，则，，
，，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.
【详解】
由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，
小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，
所以其概率为.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.
16、
【解析】
令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.
【详解】
解：令，则，恰有四个解.
有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，
则，可得.
设的负根为，
由题意知，，，
，则，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求解，转化即得解.
【详解】
（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，
所以．
因为是菱形，所以．
因为，所以是正三角形，
所以，所以平面．
又，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知平面，
所以，．
而，
所以，．
又，
所以平面．
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
则．
于是，，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，
即．
设，
易得，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，，
即．
依题意，
即，
令，则，
即，即．
所以．
【点睛】
本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了面面垂直的判断，二面角的向量求解，三棱锥的体积等知识点，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）证明见解析； （2）.
【解析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）；（2）
【解析】
曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．
射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出， 再用 得解
【详解】
解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．
设射线与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得．
与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得，
所以
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
21、（1）；（2）；（2）见解析．
【解析】
（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；
（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，
，由先求出，回代后求得坐标，计算；
（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．
【详解】
（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．
（2）由（1）圆方程为，，
设，由得，(*)，
，，
，
所以，即，解得，
方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，
∴．
（3）由题意，，，，，
设
由得：，，
由得，解得，，
，
所以，
，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴轴上不存在点，使得．
【点睛】
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
22、（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.
【解析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.
【详解】
（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，
则5个月份任意选取3个月份的基本事件有
，，，，，，
，，，，共计10个，
故恰好有两个月考核合格的概率为；
（2），，
，
，
故；
（3）当千只，
（十万元）（万元），
故9月份的利润约为111.2万元.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
月养殖量/千只3
3
4
5
6
7
9
10
12
月利润/十万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1
生猪死亡数/只
29
37
49
53
77
98
126
145

K
S
是否继续循环
循环前
1
1

第一圈
2
4
是
第二圈
3
11
是
第三圈
4
26
是
第四圈
5
57
是
第五圈
6
120
否