贵州黔东南州2025-2026学年第一学期高三期末检测数学试卷（试卷+解析）

这是一份贵州黔东南州2025-2026学年第一学期高三期末检测数学试卷（试卷+解析），共22页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，均为锐角，且，，则， 已知抛物线C， 若函数的最小正周期为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，均为锐角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
8. 从棱长为4正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（ ）
A B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 函数是奇函数
D. 将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合
10. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. 4是一个周期D. 的图象关于点中心对称
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ）
A. 2B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______．
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14 已知数列满足，且，则_____.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
16. 某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成.
（1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率.
（2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望.
17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为．
（1）求的标准方程．
（2）若为上一动点，，分别为的左、右焦点，直线分别交于点（与均异于点），线段的垂直平分线分别交轴于点．
（i）求的值．
（ii）当的面积是时，为坐标原点，求的值．
19. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间.
（2）设，且.
（i）证明：.
（ii）证明：.
2025—2026学年度第一学期高三期未检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的运算可求解.
【详解】解：由题意得：
，
则.
故选：C
2. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A.
3. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论.
【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切，
得，解得a＝0或a＝－4，
则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件．
故选：B.
4. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误．
当时，，所以B错误.
故选：A．
5. 设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式及二次函数的单调性即可求解.
【详解】由题意等差数列的公差，
则，当时等号成立．
故选：B
6. 已知，均为锐角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为均为锐角，所以，，所以.
因为，，所以，，
则
.
故选：D.
7. 已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设直线l的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解.
【详解】当直线l与轴垂直时，其方程为，代入抛物线方程，,解得,
，则.
当直线l不垂直于轴时，设直线l的方程为，，
由，得，则
故，
故选：A
8. 从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积.
【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得，
所以的表面积为.

故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 函数是奇函数
D. 将图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合
【答案】AB
【解析】
【分析】根据周期公式求出的值，即可判断A；由选项A得到函数的解析式，求出其对称中心，即可判断B；求出函数的解析式，并判断其奇偶性，即可判断C；将的图象向右平移个单位长度，得到的解析式，并判断它与函数的关系，即可判断D.
【详解】由题意可知，解得，故A正确；
可知.
令，解得.当时，可得.
所以的图象关于点对称，故B正确；
因为，
令，因为，
所以函数是偶函数，即是偶函数，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后，得到函数
的图象，
与的图象不重合，故D错误.
故选：AB
10. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. 4是的一个周期D. 的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，求得是定义在上的奇函数，结合，求得，可判定A错误；由的图象关于对称，得到的图象关于轴对称，可判定B正确；推得，可判定C正确；由的图象关于点对称，且关于直线对称，得到的图象关于点对称，可判定D正确.
【详解】对于A，因为，可得的图象关于对称，所以，
又因为是定义在上奇函数，所以，
因为，所以，所以A错误；
对于B，因为的图象关于对称，所以的图象关于轴对称，
所以是偶函数，所以B正确；
对于C，因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以函数是以为周期的周期函数，所以C正确；
对于D，因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于点对称，
因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】分析可知，，求交点横坐标，分和两种情况，结合弦长公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直，
点到渐近线的距离，
因为，可知垂足为A，且，．
联立方程，解得；
联立方程，解得；
当时，点B在射线上，则，
可得，整理得，
所以双曲线C的离心率为；
当时，点B在射线上，则，
可得，整理得，
所以双曲线C的离心率为；
综上所述：C的离心率可能是或2.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数的公式求解即可.
【详解】由题意可得，这120个零件的合格率是．
故答案为：.
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又由函数，可得，
设曲线的切点为，
则，解得.
故答案为：.
14. 已知数列满足，且，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式.
【详解】设，则.
由，解得.
.
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
，.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求，从而求出；
（2）由正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
又，
所以，又，所以，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，，，所以，
所以
，
则的面积为．
16. 某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成.
（1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率.
（2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，2
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式即可求解；
（2）的所有可能取值为0，2，4，分别求得概率即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望.
【小问1详解】
设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”，
则
.
所以选中男队员的概率为.
【小问2详解】
从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，，
从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，，
从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，，
的所有可能取值为0，2，4，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
17. 如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得.
（3）以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
证明：取棱的中点O，连接．
因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以，
且．因为，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以．因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
证明：因为是等边三角形，且O是棱AC的中点，
所以OB⊥AC．因为平面平面，
且平面平面＝AC，平面，
所以平面．
因为AF平面，所以．
因为，AB平面，OB平面，且，平面，
所以AF⊥平面．
【小问3详解】
解：由（2）可知OB，OC，OP两两垂直，则以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
，
则，，，，
设平面DEF的法向量为，
则，令＝1，得＝（0，1，－1）．
设平面BCF的法向量为，
则，令＝1，得．
设平面DEF与平面BCF的夹角为，
则，
即平面DEF与平面BCF夹角的余弦值为．
18. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为．
（1）求的标准方程．
（2）若为上一动点，，分别为的左、右焦点，直线分别交于点（与均异于点），线段的垂直平分线分别交轴于点．
（i）求的值．
（ii）当的面积是时，为坐标原点，求的值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，短轴长以及椭圆中的关系求解；
（2）（i）设出点坐标，根据弦长公式求出，再求出的垂直平分线所在的直线方程，求出坐标，进而计算；
（ii）设直线的方程为，同（i）求出坐标，再根据的面积建立方程，进而求出.
【小问1详解】
设的焦距为，由题意可得
解得则C的标准方程为．
【小问2详解】
（i）由椭圆的对称性，不妨设点，
直线的方程为，，由
整理得，，则．
由弦长公式可得．
因为线段AB的中点坐标为，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为．
令，得，即，
则，故．
（ii）设直线的方程为，，
由（i）同理可得，因为，
所以，所以，
则的面积，
因为，所以，解得，
则．
19. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间.
（2）设，且.
（i）证明：
（ii）证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数来判断函数单调区间即可；
（2）（i）根据三角函数值域可得，得，将等式变形可得不等式，再由在上单调递增，即可得，可得结论；
（ii）利用分析法将不等式等价转化为，构造函数求导来判断单调性,从而证明不等式.
【小问1详解】
因为，
所以由题意得，
则，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
证明：（ⅰ）设，其中，
当时，，，所以，
所以，得.
因为，即，
所以.
所以，即，
由于，所以在上单调递增，
即，故.
（ⅱ）要证，即证，
由（ⅰ）得，所以要证，
只要证，即证.
因为在上单调递增，所以只需要证，
因为，所以.
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以.
所以，所以，
得证.
0
2
4