新高考物理二轮复习 高频模型专练模型14弹簧能量相关模型（含解析）

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A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．P、Q的速度满足 SKIPIF 1 < 0
C．弹簧弹性势能最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．P达到最大动能时，P对杆的弹力等于0
【答案】C
【详解】
A．根据能量守恒知，P、Q、弹簧组成的系统机械能守恒，而P、Q组成的系统机械能不守恒，选项A错误；
B．在下滑过程中，根据速度的合成与分解可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
选项B错误；
C．根据系统机械能守恒可得
SKIPIF 1 < 0
弹性势能的最大值为
SKIPIF 1 < 0
选项C正确；
D．P由静止释放，P开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，P的速度达到最大，此时动能最大，则
SKIPIF 1 < 0
即杆的弹力为
SKIPIF 1 < 0
不为零，选项D错误。
故选C。
如图甲所示，长为L的长木板水平放置，可绕左端的转轴O转动，左端固定一原长为 SKIPIF 1 < 0 的弹簧，一质量为m的小滑块压缩弹簧到图甲中的a点(物体与弹簧不连接)，Oa间距离为 SKIPIF 1 < 0 。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将木板绕O点逆时针转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体由a点静止释放，物体最多运动到离O点3L/4的b点。已知弹簧的弹性势能 SKIPIF 1 < 0 ，其中k为弹性系数，Δx为弹簧的形变量。取sin37°=0.6，cs37°=0.8.下列说法正确的是( )
A．物体与木板间的动摩擦因数为 SKIPIF 1 < 0
B．物体在a点时，弹簧的弹性势能为 SKIPIF 1 < 0
C．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 SKIPIF 1 < 0
D．长木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
A．由能量守恒定律
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B．物体在a点时，弹簧的弹性势能为
SKIPIF 1 < 0
B错误；
CD．弹力等于摩擦力时动能最大
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由能量守恒定律
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，CD错误。
故选A。
3．如图所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时具有的弹性势能为( )
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
设弹力对小球做功为W，则小球从开始下落到弹簧达到最大压缩量的过程中，对小球应用动能定理得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
根据弹力做功与弹性势能的关系可知，弹簧在压缩最短时具有的弹性势能为
SKIPIF 1 < 0
故选A。
4．如图所示，质量为M的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧处于原长时，用手拉着其上端P点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离。在这一过程中，P点的位移为H，则物体重力势能的增加量为( )
A．MgHB．MgH＋ SKIPIF 1 < 0 C．MgH－ SKIPIF 1 < 0 D．MgH－ SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
物体离开地面时，弹簧的伸长量
x= SKIPIF 1 < 0
物体上升的距离
h=H－x
则物体重力势能的增加量
ΔEp=Mgh=MgH－ SKIPIF 1 < 0
故选C。
5．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，已知 SKIPIF 1 < 0 ，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
弹簧弹力做的功与弹性势能的关系为
SKIPIF 1 < 0
可知，两次弹簧的形变量相等，则
SKIPIF 1 < 0
故选D。
6．劲度系数分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定，如图，弹性势能 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的关系是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．无法比较 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小
【答案】B
【详解】
根据牛顿第三定律，A、B弹簧的弹力大小相等。由于
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以弹性势能
SKIPIF 1 < 0
又由于
SKIPIF 1 < 0
所以
SKIPIF 1 < 0
故选B。
7．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一个光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，让一个物块从槽上高h处由静止开始下滑。下列说法正确的是( )
A．物块沿槽下滑的过程中，物块的机械能守恒
B．物块沿槽下滑的过程中，物块与槽组成的系统动量守恒
C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，弹簧对物块的冲量等于零
D．物块第一次被反弹后一定不能再次回到槽上高h处
【答案】D
【详解】
AB．物块沿槽下滑过程中，物块与弧形槽组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒，故AB错误；
C．从物块压缩弹簧到被弹开的过程中，物块受到的冲量等于物块动量的变化，物体的动量变化量不为零，故物体受到的冲量不为零，C错误；
D．物块反弹后追上弧形槽，上升到最高点时，物块和弧形槽具有相同的速度，全过程系统机械能守恒，故物块不能回到槽上高h处，D正确。
故选D。
8．轻质弹簧左端固定于竖直墙壁上，右端连接一小球，开始时小球静止在光滑水平直轨道上的O点，如图所示，现将小球沿轨道移到A点后由静止释放，小球运动到B点时速度刚好为零。忽略空气阻力，在小球由A运动到B的过程中，关于小球机械能的变化情况，以下判断正确的是( )
A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】C
【详解】
在小球由A运动到B的过程中，对弹簧和小球组成的系统，在运动过程中该系统机械能守恒，由于在这一运动过程中，弹簧的形变量先减小后增大，则弹簧的弹性势能先减小后增大，故对小球来说，小球的机械能将先增大后减小。
故选C。
9．如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学探究小球在接触弹簧后向下的运动过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的( )
A．当x=h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小
B．最低点的坐标为x=h+2x0
C．小球受到的弹力最大值等于2mg
D．小球动能的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】
由图象结合小球的运动过程为：先自由落体运动，当与弹簧相接触后，再做加速度减小的加速运动，然后做加速度增大的减速运动，直到小球速度为零。
A．当x=h+x0时，弹力等于重力，加速度为零，小球速度最大，动能最大，由于系统机械能守恒，所以重力势能与弹性势能之和最小，A正确；
B．根据对称性可知，小球在x=h+2x0和x=h两个位置的速度大小相等，所以x=h+2x0不是最低点，B错误；
C．根据对称性可知，小球在x=h+2x0和x=h两个位置的合力大小相等，都等于mg，即小球在x=h+2x0位置时的弹力等于2mg，该位置不是最低点，所以弹力的最大值大于2mg，C错误；
D．当x=h+x0时，弹力等于重力，加速度为零，小球速度最大，动能最大，从开始下落到x=h+x0位置，由机械能守恒定律和平衡条件得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，D正确。
故选AD。
10．如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动。若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下建立一坐标轴Ox，小球的速度v随时间t变化的图象如图乙所示。其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BC是平滑的曲线，则关于A、B、C三点对应的x坐标及加速度大小，下列说法正确的是( )
A．xA＝h，aA＝0B．xA＝h，aA＝g
C．xB＝h＋ SKIPIF 1 < 0 ，aB＝0D．xC＝h＋ SKIPIF 1 < 0 ，aC＝0
【答案】BC
【详解】
AB．OA段的直线是小球接触到弹簧之前的自由落体运动，AB段的曲线是从接触到弹簧开始，到压缩至弹力与重力等大的运动过程，所以A点处的坐标为h，加速度为g，故A错误，B正确；
C．B点处小球的速度达到最大，说明弹簧弹力与重力等大，小球所受合力为零，加速度为零，坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D．C点处小球的速度减小到零，弹簧的压缩量达到最大，设压缩量为x，则
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选BC。
11．如图所示，质量均为m的物块A、B用轻弹簧相连，置于光滑水平面上，在水平力F的作用下，弹簧处于压缩状态，A紧压在竖直墙壁上。现撤去力F，在以后的运动过程中B的最大的速度为v，对撤去力F以后的过程，以下说法正确的是( )
A．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A的冲量大小为mv
B．物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A做功的大小为 SKIPIF 1 < 0 mv2
C．物块A、B和弹簧组成的系统总动量守恒，机械能守恒
D．物块A的最大速度为v
【答案】AD
【详解】
A．撤去力F，B物块在弹力作用下加速，弹簧恢复原长时，B物块的速度达到最大，此过程中，A、B受到弹簧的弹力大小相等，方向相反，作用时间相同，则A、B的冲量大小相等，由动量定理可知
SKIPIF 1 < 0
所以物块A离开竖直墙壁之前，竖直墙壁对A的冲量大小为mv，故A正确；
B．物块A离开竖直墙壁之前，由于物块A没有发生位移，则竖直墙壁对A不做功，故B错误；
C．此过程中只有系统内的弹力做功，则机械能守恒，但竖直墙壁对A有力的作用，即系统的外力不为0，则系统动量不为0，故C错误；
D．弹簧恢复原长时，B物块的速度达到最大，此时系统的总动量为mv，接着B减速，A加速弹簧被拉长，当B物块速度减为0时，A物块速度达最大，由动量守恒定律可知，A的最大速度也为v，故D正确。
故选AD。
12．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中( )
A．重物的机械能减少B．系统的机械能不变
C．系统的机械能增加D．系统的机械能减少
【答案】AB
【详解】
A．重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少。故A正确；
BCD．对系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，故B正确，C、D错误。
故选AB。
13．把质量为m的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示，现将小球从A位置由静止释放，小球被弹簧弹起后升至最高位置C，如图丙所示，途中经过位置B时弹簧正好处于原长状态，如图乙所示，已知A、C两位置高度差为h，弹簧的质量和空气阻力均忽略不计，下列分析正确的是( )
A．小球从A运动到C的运动过程中它的机械能守恒
B．小球从B运动到C的运动过程中它的机械能守恒
C．小球在位置B时它的动能最大
D．弹簧释放的弹性势能最大值等于mgh
【答案】BD
【详解】
A．小球从A运动到C的运动过程中，由于在AB段弹簧的弹力对它做正功，其机械能增加，A项错误；
B．小球从B到C只有重力做功，小球的机械能守恒，B项正确；
C．从A到B的过程中小球要先加速后减速，当加速度为零，即弹力与重力大小相等的位置时，速度最大，动能最大，该位置位于AB之间，不在B点，C项错误；
D．小球从A到C的过程中，小球受到的重力和弹力做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则弹簧释放的弹性势能最大值等于小球到达C点时的重力势能值，为mgh，D项正确；
故选BD。
14．一升降机箱底部装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦和空气阻力的影响，则升降机在从弹簧下端触地直到最低点的一段运动过程中( )
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D．重力势能减小，弹性势能增大
【答案】CD
【详解】
AB．从弹簧下端触地直到最低点的运动过程中，弹簧的弹力不断变大；当弹力小于重力大小时，升降机加速度方向向下，升降机做加速运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
SKIPIF 1 < 0
可知加速度减小；当弹力大于重力大小时，升降机加速度方向向上，升降机做减速运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为
SKIPIF 1 < 0
可知加速度变大，故A、B错误；
C．从升降机接触弹簧到速度最大的过程中，动能增大，由动能定理知，合力做功为正，则弹力做的负功小于重力做的正功；从速度最大位置到最低点的过程中，动能减小，由动能定理知，合力做功为负，则弹力做的负功大于重力做的正功，故C正确；
D．由于升降机的高度不断下降，则重力势能不断减小，弹簧的压缩量不断增大，则弹性势能不断增大，故D正确；
故选CD。
15．用如图所示实验能验证动量守恒定律，两块小木块A和B中间夹着一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平台面上，将细线烧断，木块A、B被弹簧弹出，最后落在水平地面上落地点与平台边缘的水平距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，实验结果表明下列说法正确的是( )
A．木块A、B离开弹簧时的速度大小之比 SKIPIF 1 < 0
B．木块A、B的质量之比 SKIPIF 1 < 0
C．弹簧对木块A、B做功之比 SKIPIF 1 < 0
D．木块A、B离开弹簧时的动能之比 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】
A．两个木块被弹出离开桌面后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，因为下落的高度相等，所以运动的时间相等，水平方向上根据公式
x=v0t
及lA=1m，lB=2m得
vA：vB=lA：lB=1：2
故A正确；
B．弹簧弹开两个物体的过程，对两个木块组成的系统，取向左为正方向，根据动量守恒定律得
mAvA-mBvB=0
解得
mA：mB=vB：vA=2：1
故B错误；
CD．由
mA：mB=vB：vA=2：1
根据动能的表达式
SKIPIF 1 < 0
可得
EkA：EkB=1：2
根据动能定理，弹簧对木块A、B做功之比
WA：WB=EkA：EkB=1：2
故D正确，C错误。
故选AD。
16．如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=0.6m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度为L=0.8m，动摩擦因数为μ=0.2，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，A滑块到达轨道最高点时对轨道的压力大小恰好等于A滑块的重力，滑块B冲上小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且g=10m/s2。求：
(1)滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力；
(2)爆炸后A与B获得的总动能是多少？
(3)滑块B滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。
【答案】(1)7N，方向竖直向下；(2)2.7J；(3)0.22J
【详解】
(1)滑块A在最高点时，由牛顿第二定律得
SKIPIF 1 < 0
已知最高点滑块对轨道的压力
SKIPIF 1 < 0
从半圆轨道最低点到达最高点过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
在半圆轨道最低点，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由牛顿第三定律可知，滑块在半圆轨道最低点对轨道的压力大小为7N，方向竖直向下；
(2)炸药爆炸过程中，A、B系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0
由能量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0
(3)B与车组成的系统动量守恒，B与车的速度相等时弹簧弹性势能最大，以向右为正方向，由动量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
由能量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0
17．如图所示，带有挡板的长木板置于光滑水平面上，轻弹簧放置在木板上，右端与挡板相连，左端位于木板上的B点。开始时木板静止，小铁块从木板上的A点以速度v0=4.0m/s正对着弹簧运动，压缩弹簧，弹簧的最大形变量xm=0.10m；之后小铁块被弹回，弹簧恢复原长；最终小铁块与木板以共同速度运动。已知当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能 SKIPIF 1 < 0 ，式中k为弹簧的劲度系数；长木板质量M=3.0kg，小铁块质量m=1.0kg，k=600N/m，A、B两点间的距离d=0.70m。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)当弹簧被压缩最短时小铁块速度的大小v；
(2)小铁块与长木板间的动摩擦因数μ；
(3)试通过计算说明最终小铁块停在木板上的位置。
【答案】(1)1.0m/s；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)最终小铁块停在木板上A点
【详解】
(1)当弹簧被压缩最短时，小铁块与木板达到共同速度v，根据动量守恒定律
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0
(2)由功能关系，摩擦产生的热量等于系统损失的机械能
SKIPIF 1 < 0
代入数据，解得
SKIPIF 1 < 0
(3)小铁块停止滑动时，与木板有共同速度，由动量守恒定律判定，其共同速度仍为 SKIPIF 1 < 0 设小铁块在木板上向左滑行的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由功能关系
SKIPIF 1 < 0
代入数据，解得
SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以最终小铁块停在木板上A点。
18．如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，取 SKIPIF 1 < 0 ＝3.17。求：
(1)滑块C的初速度v0的大小；
(2)当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C的速度大小。
【答案】(1)9m/s；(2)1.9m/s
【详解】
(1)滑块C撞上滑块B的过程中，滑块B、C组成的系统动量守恒，以水平向左为正，根据动量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
弹簧被压缩至最短时，滑块B、C速度为零，根据能量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
解得
v1＝3m/s
v0＝9m/s
(2)设弹簧弹开至恢复到原长的瞬间，滑块B、C的速度大小为v2，滑块A的大小为v3，根据动量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
根据能量守恒定律得
SKIPIF 1 < 0
解得
v2＝1.9m/s
19．通过探究得到弹性势能的表达式为 SKIPIF 1 < 0 。式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度。请利用弹性势能的表达式计算下列问题。放在地面上的物体，上端系在劲度系数k＝400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m高处。如果不计弹簧质量和各种摩擦，求拉力所做的功以及弹簧的弹性势能。
【答案】22J；2J
【详解】
由题意知弹簧的最大伸长量x＝0.1m
弹性势能
SKIPIF 1 < 0
刚好离开地面时，G＝F＝kx＝400×0.1N＝40N
则物体缓慢升高，F＝40N，物体上升h＝0.5m
拉力克服重力做功W＝Fl＝mgh＝40×0.5J＝20J
则拉力共做功W′＝(20＋2)J＝22J
20．如图所示，物块A放在平台上，绕过定滑轮的细线一端连在物块A上，另一端连在物块B上，物块B与C用轻弹簧相连，物块C放在地面上，物块A、B、C的质量分别为2m、m、m，轻弹簧的原长为L0，劲度系数为 SKIPIF 1 < 0 ，重力加速度为g，物块A与平台间的动摩擦因数为μ=0.2。开始时，物块A刚好要滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，然后给物块A施加一个大小为F=2mg的水平向右的拉力，求：
(1)加上拉力F的瞬间，物块A的加速度a；
(2)当物块B向上运动0.24L0的距离时，物块B的速度v；
(3)若经过一段时间后撤去F，要使物块C能离开地面，则拉力至少需要做的功W。
【答案】(1) 0.4g；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) 0.512mgL0
【详解】
(1)开始时，细线的拉力
T1=μ×2mg=0.4mg
设开始时轻弹簧的弹力为F1，根据力的平衡
T1+F1=mg
加上拉力的瞬间，弹簧的弹力仍为F1，设细线的拉力为T2，设物块A的加速度大小为a，
对物块B
T2+F1-mg=ma
对物块A
2mg-T2-μ×2mg=2ma
解得
a=0.4g
(2)由(1)得
F1=kx1
x1=0.12L0
当物块B向上运动0.24L0的距离时，弹性势能变化量为0，设物块B的速度为v，根据动能定理
2mg×0.24L0-μ×2mg×0.24L0-mg×0.24L0= SKIPIF 1 < 0 ×3mv2
解得
SKIPIF 1 < 0
(3)当物块C刚要离开地面时，设弹簧的伸长量为x2，根据力的平衡
kx2=mg
解得
x2=0.2L0
此时物块A、B的速度为零，则拉力做的功最少，根据动能定理
SKIPIF 1 < 0
解得
W=0.512mgL0
21．如图所示，在水平轨道右侧安放半径为 SKIPIF 1 < 0 的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为 SKIPIF 1 < 0 ，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态。质量为 SKIPIF 1 < 0 的小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度 SKIPIF 1 < 0 冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。物块A与PQ段间的动摩擦因数 SKIPIF 1 < 0 ，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度 SKIPIF 1 < 0 。求：
(1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1；
(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h1；
(3)调节PQ段的长度L，A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)0.2m；(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】
(1)设物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1，由动能定理得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆轨道的高度为h1，由动能定理得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
符合实际。
(3)①若A沿轨道上滑至最大高度h2时，速度减为0，则h2满足
SKIPIF 1 < 0
由动能定理得
SKIPIF 1 < 0
联立得
SKIPIF 1 < 0
②若A能沿轨道上滑到最高点，则满足
SKIPIF 1 < 0
由动能定理得
SKIPIF 1 < 0
联立得
SKIPIF 1 < 0
综上所述，要使物块A能第一次返回圆轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L满足的条件是
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
22．如图所示，A、B、C三个可视为质点的小物块质量分别为m1、m2、m3，且m1＞m2。A、B通过不可伸长的轻质细线绕过光滑的轻质滑轮相连，B、C通过轻质弹簧相连。用手拖住A物体，使B、C间的竖直弹簧恰好处于原长状态。松手释放A后，A下降距离d时，C恰好脱离地面且不能再上升。已知重力加速度为g。现把A换成质量为2m1的D物块，再次由弹簧处于原长状态时释放D，求：
(1)弹簧劲度系数k和释放D的瞬间D的加速度大小；
(2)当C恰好脱离地面时D的速度大小。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】
(1)C恰好离开地面时：
kd=m3g
k= SKIPIF 1 < 0
释放D的瞬间对D：
2m1g-T=2m1a
对B：
T-m2g=m2a
所以：
SKIPIF 1 < 0
(2)A下落过程有对系统由能量守恒得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
D下落时，当C恰好离开地面时，
SKIPIF 1 < 0
所以
SKIPIF 1 < 0
23．如图所示，足够长的光滑水平面上有A、B、C三物块，A、B质量都是2kg，C质量为4kg。A、B分别与一个特殊的轻弹簧两端相粘连，弹簧处于压缩得不能再压缩状态而被锁定，但还处于弹性限度内，此时弹簧储存的弹性势能为192J。现给A、B及弹簧整体一个向右的6m/s的速度，B与C碰后结合在一起不再分开。求：
(1)B、C碰后C的速度
(2)若碰后运动过程中某时刻弹簧突然解锁，求当弹簧恢复自由时A、B、C的速度
【答案】(1)3m/s；(2) vA=9m/s 向左；vB = vC=7m/s 向右
【详解】
(1)当AB整体与C相碰的瞬时，由动量守恒定律
SKIPIF 1 < 0
解得
v=3m/s
(2) 解锁后当弹簧恢复自由时，设向右为正，对系统由动量守恒和能量守恒
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
联立解得
vA=-9m/s
负号说明方向向左
vB = vC=7m/s
方向向右。
24．在水平轨道上有一弹簧左端系于A点，右端与质量为m的小球接触但不连接。现用外力推动小球将弹簧压缩至P点保持静止，此时弹性势能为EP=mgs(s为一定值)。P、B之间的距离为2.5s，小球与水平轨道的动摩擦因数为µ=0.1，静止释放弹簧，小球沿水平轨道向右运动从DB进入圆弧轨道，如图所示。BC是一段竖直墙面，DEF是固定在竖直平面内的一段光滑绝缘圆弧轨道，轨道上端D点的切线水平，B、D间距很小，可看作重合的点。圆心O与轨道下端F的连线与竖直墙面的夹角为 SKIPIF 1 < 0 。在BC右边整个空间有水平向左、大小为F0=0.75mg的恒定风力，小球进入圆孤轨道之后恰好能沿着轨道DEF运动，一段时间后从轨道下端F处脱离，最后打在竖直墙面BC的C点。已知重力加速度为g，sin SKIPIF 1 < 0 =0.8，求：
(1)小球运动到B点的速度大小；
(2)轨道DEF的半径R；
(3)小球打在C点前瞬间的速度大小。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】
(1)小球由静止释放到运动到B点，根据动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(2)由题意得
SKIPIF 1 < 0
设DEF轨道半径为R，设在E点小球达到等效最高点，由于小球恰好能沿着DEF轨道运动，则在E点有
SKIPIF 1 < 0
根据动能定理得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(3)过点F做切线以及垂直BC的水平线，则α为 SKIPIF 1 < 0 。如图
又因为
SKIPIF 1 < 0
则小球所受合力的方向与水平方向夹角成 SKIPIF 1 < 0 。即在F点小球速度方向与合力方向共线，小球做直线运动，由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
从B到C全程动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
25．如图所示，斜面倾角为 SKIPIF 1 < 0 ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为 SKIPIF 1 < 0 1=0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为 SKIPIF 1 < 0 2=0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为v1=5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x=0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木块达到共速共用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin SKIPIF 1 < 0 =0.28、cs SKIPIF 1 < 0 =0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字。
(1)求木板开始运动瞬间的加速度；
(2)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，方向沿斜面向下；(2)0.077m
【详解】
(1)木板刚开始运动瞬间，受竖直向下的重力、垂直于接触面向上的支持力、木块对木板的压力、木块对木板的摩擦力以及斜面对木板的摩擦力，由牛顿第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，方向沿斜面向下；
(2)设金属块与木板达到共同速度为 SKIPIF 1 < 0 ，对金属块
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在此过程中，以木板为研究对象，设弹簧对木板做的功为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则此时弹簧的弹性势能 SKIPIF 1 < 0 ；
金属块和木板达到共同速度后压缩弹簧，速度减小到0后反向弹回，设弹簧恢复原长时，木板和金属块的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，在此过程中对木板和金属块，由能量守恒定律可得
SKIPIF 1 < 0
木板离开弹簧后，设滑行距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由动能定理可得
SKIPIF 1 < 0
联立可得 SKIPIF 1 < 0