湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解指对数不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
2. 函数的零点一定位于下列的哪个区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．
【详解】因为函数,是连续单调函数，
且
，
∴函数的零点一定位于区间.
故选:C．
3. 已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
4. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由图象得到的定义域、奇偶性与单调性，再结合指数函数的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】由图象可知，是定义在上的奇函数，则，
同时，在上先增后减，
对于A，，，不满足题意，故A错误；
对于B，当时，，即，
所以，即，所以在上单调递增，故B错误；
对于C，显然，在处无意义，故C错误；
对于D，的定义域为，
又，则是奇函数，
经检验，的单调性也满足题意，故D正确.
故选：D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，切化弦，结合两角和的正弦公式分别求出的值，代入两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为，即，
所以，
因为，
即，解得，
因为，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式；考查运算求解能力；熟练掌握两角和与差的正弦公式是求解本题的关键；属于中档题.
7. 如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得，求出，从而得出答案.
【详解】因为，,
所以，
即，
又，
所以，故.
故选：A.
8. 设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为研究在任意一个长度为的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，
从而研究函数在区间上的零点问题，
即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻三个零点之间的距离为，相邻四个零点之间的最小距离为，
所以要使函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，
则需相邻三个零点之间的距离不大于，相邻四个零点之间的最小距离大于，
即，解得，即.
故选：B
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法可以判断AC，举反例可排除B，构造函数，利用其单调性可判断D，从而得解.
【详解】对A，因为，所以，则，故A正确；
对B，当，则，故B错误；
对C，因为，
而，则，
所以，即，故C错误；
对D，因为，所以，
令，则，
易知在上单调递增，所以，故D正确.
故选：AD.
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
A. 消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B. 甲车以80km/h的速度行驶1h消耗约8L汽油
C. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】BD
【解析】
【分析】结合图象逐项分析即得.
【详解】由题可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；
甲车以km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h消耗8L汽油，B正确；
以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；
在机动车最高限速km/h在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D正确；
故选：BD
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数偶函数
D. 该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据函数图象，结合三角函数的性质可确定函数的解析式，利用代入检验法可判断AB，利用余弦函数的奇偶性可判断C，利用三角函数平移的性质可判断D.
【详解】由图象可知：，，则，故，
所以，
又，则，所以，
由于所以，故，
对于A，，故A错误，
对于B，当时，，
故在上单调递减，故B正确，
对于C，，
显然偶函数，故C正确，
对于D，的图象向左平行移动个单位长度得
，故D错误，
故选：BC.
12. 已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒成立；（2）当时，，则下列选项正确的有（ ）
A. 对任意，有
B. 函数的值域为
C. 存在，使得
D. 函数在区间上单调递减充要条件是：存在，使得.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用条件(1)判断A；利用条件(2)判断B；利用反证法判断C；结合以上推导判断D．
【详解】对于选项A，，A正确；
对于选项B，当时，，，从而
，所以函数的值域为，B正确；
对于选项C，因为，所以，
假设存在使，则，所以，满足条件的整数不存在，C错误；
对于选项D，若，当时，，函数在区间上单调递减，
若函数在区间上单调递减，不妨设，，
若，则，，，与已知矛盾，
若，则，当，，
但，与已知矛盾，
故，故，故函数在区间上单调递减的充要条件是：存在，使得，D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题解决的关键在于分区间求出函数的解析式，再结合函数的性质判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14. 设函数的定义域为，则函数与的图象关于______对称.
【答案】
【解析】
【分析】先确定与的图象关系，再同时向右平移一个单位可得答案.
【详解】由于，恒有与的图象关于轴对称，
又向右平移一个单位得，向右平移一个单位得，
故函数与的图象关于对称.
故答案为：.
15. 函数在区间上的值域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.
【详解】令，
因为，，所以，
，
设，
显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
16. 已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】结合图形，利用向量的加减运算化简，再在正中求得，从而得解.
【详解】记中点为，连接，如图，
因为在正方形中，与相交于点，则是的中点，
所以，则，
在正中，，为的中心，
所以，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是充分用点的性质，利用向量的线性运算即可得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.
小问1详解】
由题知，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
18. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足.
（1）求，的值，判断函数在区间上的单调性（不需要证明）；
（2）已知，，且，若，求的取值范围.
【答案】（1），的单调性见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质与可求得的值，从而得到的解析式，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；
（2）利用得，再分析得，将转化为关于的表达式，从而利用对勾函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，又，则，
所以，解得，所以，此时其定义域为，
又，则函数是定义域为的奇函数，
所以，
此时在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设，
则，
因为，所以，
所以，，
所以函数在上单调递增；
同理可证在上单调递减.
【小问2详解】
因为，，
则有，
因为，所以，即，
所以，且，
所以，令，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
19. 如图所示，已知点，，点，在单位圆上，且.
（1）若点，求的值；
（2）设，四边形的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据任意角三角函数定义，由终边上的，可得，再由余弦的和角公式，可得答案；
（2）根据圆直径的性质和锐角三角函数，可得弦，根据周长公式，可得函数，再根据三角恒等变换，可得周长关于的函数.
【小问1详解】
因为，且为终边上一点，所以，
由，可得：，
【小问2详解】
由，易知等边，则，
连接，作图如下：
易知，
即，
则在中，，
同理，，
则
，
由，可得，
根据正弦函数的性质，当，即，则.
20. 某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
【答案】（1）
（2）0.3小时后，5.2小时
【解析】
【分析】（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；
（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.
【小问1详解】
当时，由图象可设，
将点的坐标代入函数表达式，解得，
即当时，，
当时，将点的坐标代入函数，
得，解得，所以，
故.
【小问2详解】
当时，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
当时，，
令，即，解得，
又，∴，
综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.
21. 已知向量.
（1）当时，函数取得最大值，求的最小值及此时的解析式；
（2）现将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.已知是函数与图象上连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合辅助角公式化简，再根据余弦函数的最值即可得解；
（2）先根据平移变换得到函数的解析式，作出两个函数的图象，不妨设在轴下方，为的中点，根据，求得，再由为锐角三角形时，只需要即可，即可得解.
【小问1详解】
，
当时，函数取得最大值，即，
解得，且，则，
此时；
【小问2详解】
由函数的图象沿轴向左平移个单位，
得到，
由（1）知，作出两个函数图象，如图：

为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，
根据图像可得，即，
由两个图像相交可得，即，化简得，
再结合，解得，
故，可得，
当为锐角三角形时，只需要即可，
由，
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：作出两个函数的图象，根据，求出等腰三角形底边上的高是解决本题的关键.
22. 已知函数，.
（1）若存在，对任意，，求实数的取值范围；
（2）若函数，求函数零点的个数.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为不等式有解问题，然后再将有解问题转化为最值求解即可；
（2），令，则，进而讨论方程大于等于的解的个数即可.
【小问1详解】
由得，
因为存在，对任意，，
所以或在上有解，
即或在上有解，
令，所以或在上有解，
又，，
所以或；
【小问2详解】
，
令，，
则，
故只需要讨论方程大于等于的解，
①当时，，方程无大于等于的解，函数无零点；
②当时，，
若，即时，方程无大于等于的解，函数无零点；
若，即时，方程有一个等于的解，此时，
解得，函数有一个零点；
若，即时，方程有一个大于的解，此时，
即，此时，方程有2根，即函数有两个零点；
③当时，，，此时方程无大于等于的解，函数无零点；
综上所述：当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当或时，函数无零点.