湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附解析），共21页。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1. 已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为 ，中
位数为 ，众数为 ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 一条河的宽度为 d，一船从 A 处出发到河的正对岸 B 处，船速的大小为| |，水速的大小为 | |，则船
行到 B 处时，行驶速度的大小为（ ）
A. B.
C. D.
5. 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 （ ）
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 ，若对任意 ，都有 ，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， 以 右 焦 点 为 焦 点 的 抛 物 线
与双曲线交于第一象限的点 P，若 ，则双曲线的离心率 （ ）
A. 2 B. 5 C. D.
8. 如图，已知点 是 的边 的中点， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，
点 满足 其中数列 是首项为 的正项数列， 是数列
的前 项和，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B. 数列 是等比数列
C.
D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分)
9. 设 为两个不同的平面， 为两条不同的直线，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A 若 或 ，则
B. 若 ，则 或
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C. 若 或 ，则
D. 若 ，则 或
10. 已知抛物线 ( )的焦点为 为 上的一动点，且 的最小值为 .过点 作直线
，交抛物线 于 两点(点 在第一象限)， 为 的准线， 垂足为 为坐标原点，则
下列说法正确的是（ ）
A.
B. 存在直线 ，使得
C. 若直线 的斜率为 ，则 的面积为
D. 过点 作 于 ，则以 为直径 圆恒过定点 和
11. 已知 的三边长是三个连续的正整数.则下列判断正确的是（ ）
A. 若 是直角三角形，则 的内切圆面积为
B. 若 是钝角三角形，则 的外接圆半径必为
C. 若 的一个内角是另一个内角的两倍，则 的周长必为
D. 若 周长为 l，则
三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为 ，侧面展开图的扇环面积为 ，若该圆台存在内切球，
则 ______.
13. 已知 且 ，则 的最大值为_______.
14. 已知函数 若 （ ）则 的取值范围
为_________，
四、解答题(本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知数列{an}的前 n 项和为 ，数列{bn}满足
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（1）求数列 的通项公式;
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 .
16. 某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“ ”和
“ ”两种卡片，每位玩家的初始分数为 0，每获得一张“ ”加 1 分，每获得一张“ ”减 1 分．已知某位玩家
在一局游戏内共点击屏幕 次，设该玩家获得“ ”的次数为 ，最终分数为 ．
（1）若玩家每次点击屏幕时，获得“ ”和“ ”的概率均为 ，求 的分布列与数学期望，并直接写出
的值；
（2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“ ”和“ ”的概率．计数器会记录玩家已经点击屏幕的
次数 （初始值为 0），若 为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“ ”和“ ”的概率均为 ，若 为奇
数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“ ”的概率为 ，获得“ ”的概率为 ．求 ．
附：若随机变量 和 的取值是相互独立的，则 ．
17. 已知半圆的圆心为 O，直径 ，C 为 的中点，将扇形 绕着 翻折使 B 到达 的位置，
如图所示，扇形 在翻折过程中形成的几何体 的体积为 .点 D，E 分别在 上且不与端
点重合， .
（1）求证 ;
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值.
18. 已知椭圆 左､右顶点分别为 ，上､下顶点分别为 ，记四边形 的内
切圆为 为 上任意一点，过 作 的两条切线分别交 于 两点.
（1）求 的标准方程；
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（2）求证：直线 过定点；
（3）求 的最小值.
19. 已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数．
（1）若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
（2）若存在正数 ，使得对任意 均有 成立．
证明：（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
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