江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期八年级数学月考试卷

这是一份江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期八年级数学月考试卷，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分）
1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．图中的两个三角形全等，则∠α=（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一个锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等
D．一条直角边和一个锐角分别相等
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP=2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，在△AOB中，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点О出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠OBD=120°B．OA//BDC．CB+BD=ABD．AB平分∠CAD
7．如图，△AOB≌△ADC（∠O和∠D是对应角），∠O=90∘，若∠OAD=α，∠ABO=β．当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α=βB．α=2β
C．α+β=90∘D．α+2β=180∘
8．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB交于点M，N，则一下结论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共20分）
9．等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为 °．
10．如图，点E、F在BC上，BF=CE，∠A=∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE．
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
12．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE=AD，∠CED=25°，则∠BAE= °．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB＝9，AD＝6，则△AED的周长为 ．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P+∠Q= 度．
15．在等腰△ABC中，AB=AC=8，点D，E分别是BC，AC边上的中点，那么DE= ．
16．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC=5，则BE= ．
17．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（共64分）
19．如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：
（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出一点P，使得|PA−PC|的值最大；（保留作图痕迹，并标上字母P）
（3）在直线l上找出一点Q，使得QA+QC1的值最小．（保留作图痕迹，并标上字母Q）
20．如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
21．如图，E在AB上，∠A=∠B，AD=BE，AE=BC，F是CD的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）∠CEA=80°，∠B=60°，求∠ECD的度数．
22．已知：如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AF=BE，AC=BD．请问BC和AD有怎样的关系？说明理由
23．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，直线l经过点A，且与BC平行，请在直线l上作出所有的点Q，使得∠AQC=12∠ACB．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）
（2）如图2，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB=∠CPD（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）
24．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC=BE；
（2）若∠AEC=78°，求∠BCE的度数．
25．已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是个真命题
（1）请写出逆命题和已知、求证
逆命题：______．
已知：______．
求证：______．
（2）用两种方法证明逆命题是真命题
26．已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
（1）如图1，试说明CD=CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
2．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解；因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为c，
所以∠α=58°．
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应角相等及对应边所对的角是对应角求解即可.
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、符合SAS定理，根据SAS可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；
B、符合AAS定理，根据AAS可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；
C、符合HL定理，根据HL可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；
D、当一边是两角的夹边，另一个三角形是一角的对边时，两直角三角形就不全等，故本选项正确；
故选D．
【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据定理逐个判断即可．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；轴对称的性质
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的角平分线上，
∴∠AOP=∠BOP，
如图所示，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点B，
∴∠PEO=∠PFO=90°，PE=PF，OE=OF，
∴在四边形PEOF中，∠EOF+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠EPF，即∠MPE+∠EON=∠EON+∠NOF，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE≌△NPFSAS，
∴PM=PN，故①正确；
由①正确可得，ME=NF，
∴OM+ON=OE+EM+OF−NF=2OE=2OF，故②正确；
由△MPE≌△NPF可得S△MPE=S△NPF，
∴S△MPE+S△EPO+S△OPN=S△EPO+S△OPN+S△NPF=S四边形PMON=S四边形PEOF，
∴四边形PMON的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接EF，由上述结论可得，PM=PN，PE=PF，∠MPN=∠EPF，PM>PE，PN>PF，
∴MN≠CD，即MN的长度发生变化，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质可得∠AOP=∠BOP，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点B，则∠PEO=∠PFO=90°，PE=PF，OE=OF，再根据四边形内角和定理可得∠MPN=∠EPF，则∠MPE=∠NPF，再根据全等三角形判定定理可得△MPE≌△NPFSAS，则PM=PN，故①正确；再根据边之间的关系可判断②正确，根据全等三角形判定定理可得S△MPE=S△NPF，则S△MPE+S△EPO+S△OPN=S△EPO+S△OPN+S△NPF=S四边形PMON=S四边形PEOF，即四边形PMON的面积是定值，故③正确；连接EF，由上述结论可得，PM=PN，PE=PF，∠MPN=∠EPF，PM>PE，PN>PF，则MN≠CD，即MN的长度发生变化，故④错误；
9．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
10．【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
11．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，
再根据角平分线的判定定理可得，点P在∠BOA的角平分线上，
从而得到：PO为角平行线.
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】根据题意可得，直尺宽度一样，从而得到点P到AO与BO的距离相等，再根据角平分线的判定定理可得，点P在 ∠BOA的角平分线，即可求证.
12．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质
14．【答案】45
【知识点】正方形的性质
15．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
16．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质
17．【答案】12.5
【知识点】三角形全等及其性质
18．【答案】9.6
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，如图所示．
则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC=12BC×AD=12AC×BQ
∴BQ=BC×ADAC=12×810=9.6．
故答案为：9.6．
【分析】根据三线合一得到AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，交AD于点P，这时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，利用面积法解答即可．
19．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
20．【答案】见解析
21．【答案】（1）见解析
（2）40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
22．【答案】BC=AD，BC//AD，理由见解析
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
24．【答案】（1）见解析
（2）26°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
25．【答案】（1）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；已知：如图，△ABC中，CD是中线，且CD=12AB，求证：∠ACB=90°
（2）见解析
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；逆命题
26．【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴CD=CB；
（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α−90°−α=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的综合；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）由三角形的内角和定理结合等量代换得∠ABC=∠BDC，则等角对等边可得结论成立；
（2）①由直角三角形两锐角互余得∠CBE+∠ACB=90°，由三角形内角和定理结合等腰三角形的性质知12∠BAC+∠ACB=90°，等量代换得∠CBE=12∠BAC=12∠BCD；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD=3∠CBE，然后分三种情况：当BD=BF时、当DB=DF时、当FB=FD时，利用等腰三角形的性质分别进行计算即可解答．
（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴CD=CB；
（2）解：①∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α−90°−α=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．