江苏省南京市联合体2025-2026学年第二学期八年级第一次月考数学试卷含答案

这是一份江苏省南京市联合体2025-2026学年第二学期八年级第一次月考数学试卷含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
2．下列事件中属于必然事件的个数是（ ）
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②a是实数，则；③367个人中至少有2个人生日相同．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填
（第3题）（第4题）（第5题）
4．某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量折线统计图如图所示（注：月增量当月的销售量上月的销售量），下列说法正确的是（ ）
A．2月份的销售量为0.4万辆B．2月份至4月份的月销售量呈下降趋势
C．4月份的销售量最小D．6月份的销售量最大
5．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（ ）
A．19B．20C．21D．22
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．9B．13C．5D．4
（第6题）（第7题） （第8题）
7．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（ ）
A．1B．1.5C．3D．5
如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（ ）
A．12B．C．18D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．九年级某班有50名学生，在4 月份的体育中考中，成绩满分的有40人．若将数据绘制成扇形统计图，则代表满分的扇形的圆心角度数为____________°．
10．为了了解我校八年级的1200名学生的数学期中成绩，随机抽取80名学生的数学成绩进行分析，在该抽样中，样本是指______________．
11．多项式的公因式是____________．
12．在中，，则_________°．
13．在△ABC中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是___________．
14．如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为_________．
15．如图，四边形是正方形、延长到点，使，连接，则的度数是_________．

（第15题）（第16题）（第17题） （第18题）
16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则BF的长为_________．
17．如图，菱形ABCD的边长为13cm，正方形AECF的边长为50cm，则菱形ABCD的面积为__________cm2．
18．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_____________．
三、解答题
19．（6分）因式分解：(1)；(2)；
20．（8分）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
(1)完成上述表格：a＝ ，b＝ ；
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是 ；（ 结果都精确到0.1）
(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1，P2，P3的大小关系为 ．（用“”连接）
21．（8分）学教育基地作为一种全新的教育形式，近年来在我国得到了广泛的应用和推广，本市中学生选取了以下四个研学基地：A．“南京博物院”；B．“雨花台烈士陵园”；C．“牛首山文化旅游区”；D．“渡江胜利纪念馆”．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
(1)在本次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校有名学生，请估计喜欢的学生的人数．
22．（7分）点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
23．（8分）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是，的中点，顺次连接各点得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：是菱形．
24．（8分）已知：如图，正方形中，对角线交于点O，E、F分别为中点．求证：
(1)；
(2)四边形为等腰梯形．
25．（8分）如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．）
(1)如图①，若点在边上，求作平行四边形，使得点、分别在、上；
(2)如图②，求作正方形，使得点、、分别在、、上．
26．（11分）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
(1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G，
①求证：；
②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形．
(2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．
①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，则正方形面积的最大值为______；
《学情调查（4）》参考答案
1．C
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，逐一判断选项是否符合“将多项式分解为几个整式乘积的形式”，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：A、右边为，包含加法运算，未写成乘积形式，不是因式分解；
B、左边是 的乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解；
C、左边为多项式 ，右边写成，即两个的乘积，符合因式分解的定义；
D、左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，故不符合要求；
故选：C
2．B
【分析】本题考查了必然事件．必然事件是指一定发生的事件，①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，据此进行逐一分析各事件，即可作答．
【详解】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件；
事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件；
事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件；
事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件，
∴ 只有事件④是必然事件，共1个，
故选：B
3．C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，
先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可．
【详解】解：∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
则A正确；
∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）．
则B正确；
∵四边形是平行四边形，就有，
∴加上条件，不能说明四边形是菱形．
则C不正确；
∵，四边形是菱形，
∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
则D正确．
故选：C．
4．D
【分析】此题考查了折线统计图．根据相关概念和数据进行逐项分析即可．
【详解】解：设1月销量为x万辆，
根据图象得：2月份的销售量为：万辆，
3月份的销售量为：万辆，
4月份的销售量为：万辆，
5月份的销售量为：万辆，
6月份的销售量为：万辆，
A．∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道1月份的销售量，
∴无法得到2月份的销售量，故该选项错误，不符合题意；
B．根据折线统计图知2月份至3月份销售的月增量呈上升趋势，3月份至4月份销售的月增量呈下降趋势，故该选项错误，不符合题意；
C．由上面所设知，2月份与4月份的销售量最小，故该选项错误，不符合题意；
D．由上面所设知，6月份的销售量最大，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴等腰梯形的周长为，
故选：．
6．B
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点E，证明，推出，再利用勾股定求出即为正方形的面积．
【详解】解：如图，作轴于点E，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，
，
即正方形的面积是，
故选：B．
7．B
【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键．
【详解】解：延长，，相交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵D是的中点，，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，此时AE+AF的值最小，
【详解】
解：如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH=EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH，
∵BD所在的直线是菱形的对称轴,点A、C是对称点，（或根据SAS证明△ABF≌△CBF）
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°，
∴AC=AB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH=90°，
在Rt△CAH中，CH= ＝，
∴AE+AF的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
9．288
【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．先求出体育优秀的占总体的百分比，再乘以 即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：288．
10．80名学生的数学成绩
【分析】本题考查样本．根据样本是总体所抽取的一部分个体，可得答案．
【详解】解：在该抽样中，样本是指80名学生的数学成绩．
故答案为：80名学生的数学成绩
11．
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．
【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低指数是2，
∴该多项式的公因式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
12．135
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形邻角互补的性质建立方程求解．
根据平行四边形对边平行，得出邻角互补，再结合，求出，进而利用平行四边形对角相等求出．
【详解】如图：∵四边形是平行四边形，
故答案为：135．
13．
【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理分别求出、、，然后计算即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵点、、分别是边、、的中点，，，，
∴，，，
∴，
∴的周长是．
故答案为：．
14．10
【分析】本题考查梯形的中位线定理，掌握知识点是解题的关键．
根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”进行计算即可．
【详解】解：设梯形的另一底边长为b，由中位线定理，得
，
解得
．
故答案为：10．
15．/度
【分析】根据正方形的性质，易知；等腰中，根据三角形内角和定理可求得的度数，进而可由得出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
；
中，，则：
(；
．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接 ，由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质得，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
17．120
【分析】由正方形的性质可求AC的长，由勾股定理可求BO的值，可求BD的值，即可求菱形ABCD的面积．
【详解】解：如图，
∵正方形AECF的边长为5cm，
∴AC=EF=10cm，AO=5cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=DO，
∴BO==12cm，
∴BD=2BO=24cm，
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=120cm2．
故答案为：120．
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
18．27
【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积．
【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接．
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形为正方形．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：27．
【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算．
（1）用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式；
（3）先提公因式，然后用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．(1)、
(2)，
(3)
【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：、；
（2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是；
故答案为：，；
（3）解：，，，
．
21．(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据选择的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校有名学生，喜欢的学生的人数．
【详解】（1）解：在本次调查中，一共抽取了（人），
故答案为：；
（2）选择B的学生有：（人），
补全的条形统计图如下所示，
（3）解：（人），
即估计喜欢的学生有人．
22．见解析
【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE=AD，BF=BC，则DE=BF，DE∥BF，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中位线的性质得出，，，，即可得出，，从而证明结论正确；
（2）根据中位线的性质得出，根据，得出，得出，从而证明为菱形．
【详解】（1）证明：∵点E与点H分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理：，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵点F与点H分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，中位线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰梯形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由E、F分别为中点，可知是的中位线，即可证得；
（2）由正方形中，对角线交于点O，E、F分别为中点，易证得，即可得四边形为梯形，易证得，则可得，即可得四边形为等腰梯形．
【详解】（1）证明：∵E、F分别为中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵E、F分别为中点，
∴， ，， ，
∴，
∴四边形是梯形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为等腰梯形．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据过直线外一点作平行线的作法，过点D作的平行线交于为E，得到，然后以C为顶点，在上截取线段，使，连接，即可得到平行四边形；
（2）根据角平分线的作法，作出的角平分线，交于点F，连接，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，根据垂直平分线的性质，得到，又因为，即可证明四边形是正方形．
【详解】（1）解：平行四边形即为所求；
（2）解：正方形即为所求．
【点睛】本题考查了复杂作图——过直线外一点作平行线、角平分线、垂直平分线，平行四边形的额判定，正方形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
26．(1)①见解析；②见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明；
（2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答．
【详解】（1）①证明：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：如图，
同理①得：，
∴，
由①知，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形（对角线相等且平分）；
（2）①解：在图2中，连接，
在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴正方形对角线过点O，
根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，
即当时，正方形的面积最小，
如图所示为所求：
②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，
∵在菱形中，，，
∴，，
设正方形边长为，则，，
∴，
则，
整理得：，
解得：，
∴正方形的面积最大为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
5
6
7
8



答案
C
B
C
D
B
B
D