江苏南京市金陵中学2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试卷（含解析）

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一、选择题（共8小题）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】.
故选：B.
本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.
2. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. 4D.
【答案】B
【解析】
【详解】由向量，，且，则，解得.
3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形圆心角计算公式和面积公式即可求解.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由题意可得：，解得，
所以扇形的面积是，
故选：B
4. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以
.
故选：D.
5. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）．
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件和算出答案即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，即
故选：D
6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
7. 设函数在区间恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法设，分类讨论并利用正弦函数图象列不等式求解.
【详解】显然不合题意；
当时，设，则，
当时，，函数在上恰有三个最值点、两个零点,
在上恰有三个最值点、两个零点，如图1．
由图可知应有，解得；
当时，，如图2，
由图可知在上不可能有三个最值点、两个零点，不合题意；
所以实数的取值范围是，
故选:C．
8. 已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据题意得到在以为直径的圆周上，过点作，得到，设，求得，进而得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设，则，
若对任意的实数都有且成立，
即对任意的实数都有且成立，
即成立，所以在以为直径的圆周上，
设圆心为，过点作，交于点，交圆于点，
可得向量在上的射影长最大值为，
所以，
设，其中，且，
则，
所以，
所以，
，，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：B.

二、多选题（共3小题）
9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
10. 下列各式中，化简结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：因为，
整理得，
所以，故C正确；
对于D：
，故D错误.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的最小正周期为
C. 的最小值为
D. 在上有四个不同的实数解
【答案】BD
【解析】
【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD；
方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可.
【详解】方法一：由，
则，，则，
所以不可能关于对称，A错误；
因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
则的最小正周期为，B正确；
当时，，当时，；
当时，，作出函数大致图象，如图，
则，C错误，
在有4个根，D正确.
方法二：由，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：

由图可知，AC错误，B正确，
对于D，计算知与在内的交点坐标为，
而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，
所以在上有四个不同的实数解，故D正确.
故选：BD.
三、填空题（共3小题）
12. 已知．则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式计算可得、，结合同角的商数关系计算即可求解.
【详解】，
，
两式相加得，两式相减得，
所以.
故答案为：
13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则＝_______.
【答案】4
【解析】
【分析】取的中点，连接，则.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将转化为，由此求得的值.
【详解】取AC中点E，连接，则，则
.
故答案为：
本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14. 已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】判断出关于对称，在上单调递增，转化为使成立，令，即求在上的最小值，利用配方法可得答案.
【详解】对于，，定义域关于原点对称，
因为
，
所以的图象关于对称，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，可得在上单调递增，
因为，
所以，
因为在上单调递增，所以，
即使成立，
令，，
即求在上的最小值，
令，
当时，，所以，
可得，
所以，即，
令，，
所以在上的最小值为2，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
方法点睛：本题解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题，再分离参数后变成求函数的最大值．
四、解答题（共6小题）
15. 已知向量，，且.
（1）求在上的投影向量；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由垂直的坐标表示求出，再根据投影向量的定义：在上的投影向量为求解即可；
（2）由向量夹角为钝角，则，且向量与不共线，列出式子求解即可．
【小问1详解】
因为，，
所以，
由，可得，
即，解得，
所以，
又与同方向的单位向量，，
故在上的投影向量为.
【小问2详解】
，，
向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与
不共线，即，
解得且，
故m的取值范围是.
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
（2）利用二倍角公式、两角和的余弦公式求得正确答案.
（3）利用同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.
【小问1详解】
因为，，所以，所以.
.
【小问2详解】
因为，，
所以cs2α+π4=22(cs2α−sin2α)=22×−725−2425=−31250.
【小问3详解】
因为，，所以，
又，所以，
所以
=223×35−−13×45=62+415.
17. 已知在中，为AB中点，，，.
（1）若，求的长；
（2）设和的夹角为，若，求；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
【答案】（1）
（2）0 （3）点为线段NC的中点.
【解析】
【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；
（2）由平面向量数量积的定义求解，用基底表示，通过平面向量数量积的运算性质求解即可；
（3）因为点在线段上，设，由共线向量求解即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以，因为，，，
由平面向量数量积的定义得，
所以|AM|=34AB+14AC=14(3AB+AC)2=149AB2+6AB⋅AC+AC2
.
【小问2详解】
由平面向量数量积的定义可得，
因为为的中点，则，
所以CN⋅AB=12AB−AC⋅AB=12AB2−AB⋅AC=12×22−2=0，
又因为、均为非零向量，故，即，所以cs∠ANC=0.
【小问3详解】
因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，
又，且、不共线，
所以1−λ2=14λ=12，解得，此时，点为线段的中点.
18. 已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值．
【答案】（1），
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据相邻两个对称轴间的距离为最小正周期的一半求函数的最小正周期，根据与的关系求，根据正弦函数的对称性求，再结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间；
（2）由条件可得，由角的范围及同角关系求，
方法一：利用诱导公式求结论；方法二：利用两角差正弦公式求结论；
（2）根据题意确定的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象判断解的对称关系，即可求解.
【小问1详解】
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以的最小正周期．可得．
又由函数关于点对称，令，所以，
因为，所以，所以函数，
又因为的单调递增区间为，
令，
解得．
所以的单调增区间为．
【小问2详解】
因为，即，因为，所以，
又因为，所以，所以．
法一：所以．
法二：
；
【小问3详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
方程，可化为，得，
因为，所以，
设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间上有5个根，即，
其中，
即，
，
解得，
∴．
19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，则记向量，在的斜坐标系中.
（1）若向量，求.
（2）已知向量，，试用，，，表示.
（3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，.
①证明：有且只有一个零点；
②比较与的大小，并说明理由.（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
（3）①证明见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用新定义写出向量，再利用数量积的性质求模；
（2）利用数量积的运算性质化简即可；
（3）①结合（2）求出的解析式，分、、四种情况讨论其零点情况；
②结合①中的隐零点得出，代入化简，结合对勾函数的单调性求解.
【小问1详解】
因为，所以，
又，，，
所以，即；
【小问2详解】
因为，，所以，，
所以
；
【小问3详解】
①由（2）知
，
所以ℎ(x)=lnx+sin2π8x+π6−π3=lnx+sinπ4x，，
当时，单调递增，
又，，，所以，
又，所以，
所以，使得，故在上有1个零点；
当时，，，所以，
即在上没有零点；
当时，，，所以，
即在上没有零点；
综上所述，在定义域内有且仅有一个零点；
②，理由如下：
由①知，化简得，
所以，
因其在上单调递减，所以，
即，所以.