2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高三（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高三（下）月考数学试卷（4月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2≤6}，B={x∈Z|−20.若P(μ−σ0)与C2：y=−2px2+4围成的封闭曲线C，如图所示，设C的左、右顶点分别为A、B，上、下顶点分别为D、O，则下列结论正确的是( )
A. 若C1，C2的焦点重合，则p=116
B. 若AB=OD，则C1与C2的准线之间的距离为5
C. 设C1的焦点为F，|BF|=3，C上一点M的纵坐标yM≥2，则MF的最小值为2 2
D. 若分别作曲线段AO，OB，BD，DA的切线，则存在p≥116，使得四条切线能围成矩形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若Cn2=4(Cn1−Cn0)(n∈N)，则二项式(2x−1x)n展开式中常数项为______.(结果用数字作答)
13.已知函数f(x)=csx( 3sinx−csx)+12，若存在x1，x2∈[−π,2π]，使得f(x1)f(x2)=−1，则x1−x2的最大值为______．
14.已知函数f(x)，若满足以下两个条件：
①当x>0时，f(x)>0；②∀x，y∈(0,+∞)，均有f(x+y)≥f(x)+f(y)，则称f(x)为“优质函数”.若函数ℎ(x)=t(2−x−1)+2x−1是“优质函数”，则函数ℎ(x)在(0,+∞)上的单调性情况是______(填“递增”、“递减”或“无单调性”)；实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，2Sn=(n+1)an,n∈N∗．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn0)经过点(4 2,−3)，一条渐近线方程为y=34x．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设O为原点，若点A是双曲线C上的动点，点B在直线x=−125，且OA⊥OB．
(i)求△AOB面积S的最小值；
(ii)判断是否存在定圆与直线AB相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=exsinx，g(x)=2ln(x+1)−x．
(1)求函数f(x)的在x=0处的切线方程；
(2)求证：当x∈(0,π2)时，f(x)>exg(x)；
(3)求证：12ln(n+1)0)经过点(4 2,−3)，
且一条渐近线方程为y=34x，
所以32a2−9b2=1ba=34，
解得a2=16b2=9，
所以C的标准方程为x216−y29=1；
(2)设A(x0,y0)，B(−125,t)，
(i)由点A双曲线C上的动点，则x0216−y029=1，
由于OA⊥OB，则−125x0+ty0=0，
显然y0≠0，可得t=12x05y0，
且OA2=x02+y02，OB2=14425+t2，
所以S2=14(14425+t2)(x02+y02)=14(14425+144x0225y02)(x02+y02)
=3625×(x02+y02)2y02=3625×(16+25y029)2y02=3625×(16|y0|+25|y0|9)2
≥3625×(2 16|y0|×25|y0|9)2=3625×4×16×259=162，
则当且仅当y0=±125时，等号成立，Smin=16；
(ii)由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在x轴上，
当点A趋于顶点时，点B趋于无穷远处，此时切线的极限位置为x=±4，
由此猜想定圆为x2+y2=16，
下面进行证明：
显然x0≠−125，直线AB：y−t=y0−1x0+125(x+125)，
即(y0−t)x−(x0+125)y+tx0+125y0=0，
点O到直线AB的距离为d=|tx0+125y0| (y0−t)2+(x0+125)2=12(x02+y02)5|y0| (y0−12x05y0)2+(x0+125)2=12(x02+y02)5|y0| x02+y02+14425(x02y02+1)=12(x02+y02)5|y0| (x02+y02)×144+25y0225y02=12(x02+y02) 912(x02+y02)2=4，
所以存在定圆x2+y2=16与直线AB相切．
19.解：(1)因为f′(x)=exsinx+excsx
=ex(sinx+csx)= 2exsin(x+π4)，
所以切线斜率k=f′(0)=1，又因为f(0)=0，则切点为(0,0)，所以切线方程为y=x；
(2)证明：即证明μ(x)=sinx+x−2ln(x+1)>0，
则μ′(x)=csx+1−2x+1，且μ(0)=0，μ′(0)=0，
当x∈(0,π2)时，μ′(x)=−sinx+2(x+1)2，
因为函数y=−sinx、y=2(x+1)2在(0,π2)上均为减函数，
则μ′′(x)在(0,π2)内单调递减，
又因为μ′(0)=2>0，μ″(π2)=−1+2(π2+1)20，n′(π2)=−1+1(π2+1)20，所以ln2n+12n>ln2n+22n+1，
所以2(sin12+sin14+⋯+sin12n)>2(ln32+ln54+⋯+ln2n+12n) >ln32+ln43+ln54+ln65+⋯+ln2n+12n+ln2n+22n+1
=ln3−ln2+ln4−ln3+...+ln(2n+2)−ln(2n+1)=ln(n+1)，所以sin12+sin14+⋯+sin12n>12ln(n+1)得证，
设p(x)=sinx−x(0