江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A 五棱锥B. 三棱台
C. 三棱柱D. 四棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断
【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，
故选：A
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算即可求解.
【详解】，
故，
故选：B
3. 若中，，若该三角形有两个解，则范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，过作于点，从而可求出，由该三角形有两个解，可知以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，从而可求出的取值范围.
【详解】解：如图，过作于点，
，
，
若该三角形有两个解，则以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，
则的取值范围是：，即，
所以的取值范围是.
故选：D.
4. 已知向量，单位向量与向量同向共线，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】由已知得，
则在方向上的投影向量为，
故选：B．
5. 已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简函数式，借助正弦函数的性质结合中间值比较大小可得．
【详解】由在上为增函数，
则
，
，
又，
即，
所以，
所以．
故选：B
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦二倍角公式以及齐次式即可求解，或者利用同角关系以及半角公式即可求解，或者利用联立方程法求解，，即可利用同角关系求解.
【详解】（方法一）由，所以，则，
由，则，所以．
（方法二）因为，所以，，
所以．
（方法三）因为，且，
所以，，
所以，
由，则，所以．
故选：A
7. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
若在一次测量中，，横档CD的长度为40，则太阳高度角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，，即可利用二倍角公式求解.
【详解】由题意知AE垂直平分CD，故，
中，，则，
则，，
而，故，
即太阳高度角的正弦值为．
故选：B
8. 中，，，，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上．若为正三角形，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据角度关系与正弦定理可得，结合与可得，进而有求得的面积.
【详解】在中，，，，
设，则，
在中，因为，，
在中，，，则，
所以，又，
由题，为正三角形，所以，即，
所以，则，所以，
从而的面积为．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若z的共轭复数，则
C.
D. 在复平面内，集合所构成区域的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数的运算求解A，B，C；根据复数的几何意义判断D.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B：，故，故B正确；
对于C：，，C正确；
对于D：集合M表示以为圆心，半径为2的圆，故，故D错误．
故选：BC
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若，则是直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据正弦定理、余弦定理得到C为锐角，不能确定判断A；对于B，根据，结合三角函数单调性与诱导公式，判断B；对于C，根据向量数量积的运算判断C；对于D，正弦定理以及两角和公式判断D.
【详解】对于A，由正弦定理得，，所以C为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，所以A错误；
对于B，在锐角中，由，可得，且A，．
由函数在上单调增，得，即，所以B正确；
对于C，由，得，取AB中点M，
则，即，所以是等腰三角形，所以C错误；
对于D，由，得，
所以
，
得，因为，，
所以，，所以，
因为，所以，为直角三角形，D正确，
故选：BD.
11. 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记．则下列说法正确的是（ ）
A. 弧PQ的长为
B. 扇形OPQ的面积为
C. 当时，矩形ABCD的面积为
D. 矩形ABCD的面积的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求出矩形ABCD的面积表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C,D.
【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角，
故弧PQ的长为，A正确；
扇形OPQ的面积为，B错误；
在中，，，
在中，，，
则ABCD的面积，
当时，由，得，，C正确；
又，
当，即时，矩形ABCD的面积取最大值，D错误．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______
【答案】
【解析】
【分析】平方，利用二倍角公式即可求解.
【详解】由可得，故，故，
故答案为：
13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则面积的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理求得，结合基本不等式得，由求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理，可化为，
整理可得，由余弦定理，
又，故，
根据基本不等式，
当时取得等号，
故，即面积的最大值为．
故答案为：
14. 如图，已知矩形ABCD的边，．点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，表示出，用基本不等式求最小值.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则，，．
因为
．
当且仅当，即时，“＝”成立，所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：数量积的计算方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）基底法；（4）极化恒等式；（5）数量积的几何意义（投影）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【小问1详解】
由，可得，
.
【小问2详解】
由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
16. 已知在中，点在线段上，且，延长到使．设，．
（1）用、表示向量、；
（2）若向量，，、夹角为，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）根据数量积的运算律以及模长公式，即可利用夹角公式求解.
【小问1详解】
因为，结合图形可知A为BC的中点，所以
，
因为，则，
所以．
【小问2详解】
由题意知，
由（1）知，，，
所以，
，，
所以．
17. 已知向量，．
（1）若且，求x的值；
（2）记，R．
①求的单调增区间；
②若任意，均满足，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）①单调增区间为 ，Z；②
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可.
（2）①先将化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；
②恒成立问题转化为求函数的最值问题，再分离参数进而求出取值范围.
【小问1详解】
由，则，即，
解法1：所以，
由于，所以，所以，则．
解法2：所以，即，
因为与不能同时为零，所以，．
因为，所以．
【小问2详解】
①
由，得，Z，
所以的单调增区间为,Z.
②因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，．
因为恒成立，所以恒成立，
所以，因此，
即m的取值范围为．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，求证：；
（3）若的面积为，求边AC的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知可求得，与联立方程组可求得，进而可求；
（2），可得，利用可求最小值；
（3）由正弦定理得，，可得，进而计算可求得取得最小值，可得的最小值.
【小问1详解】
在中，由正弦定理及，所以．
又，所以，
由，解得或（舍），
所以，
【小问2详解】
因为，所以，
即，
所以，
所以，
因为在中，，，
所以，即，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，
所以．
【小问3详解】
因为，由正弦定理得，
即，
因为的面积
，
所以，
因为，且，所以，所以，
所以当，即时，取得最小值，
所以的最小值为．
19. 某市遇到洪涝灾害．在该市的某湖泊的岸边的O点处（湖岸可视为直线）停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑（假设小船沿直线匀速漂移）．
（1）为了找回小船，需要测量小船的漂移速度（请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h）．
现有两种方案：
①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m．当小船在漂移到B处时，测得；经过15s，小船漂移到C处，测得．又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得和；经过20s，小船漂移到D处，测得和．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
（2）如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船．问安全员是否能追上小船？请说明理由．
参考数据：，，，．
【答案】（1）①（km/h） ；②（km/h）
（2）安全员可以追上小船，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由正弦定理求出和，求出即可求出小船的速度；
②根据正弦定理求出和，根据余弦定理求出即可求出小船速度；
（2）设安全员经过t小时与小船相遇，小船的漂移速度是v km/h，根据余弦定理和二次函数的性质即可判断安全员是否能追上小船.
【小问1详解】
①如图1，在中，由，，
所以，由正弦定理，
得，所以，
在中，由，，
所以，由正弦定理，
得，所以，
所以（m），
所以小船的速度（km/h），
②如图2，在中，由，，
所以，由正弦定理，得，
所以，在中，
因为，，
所以，由正弦定理，得，
所以，又在中，
，
，
所以（m），小船的速度（km/h）；
【小问2详解】
如图3，设安全员经过t小时与小船相遇，其中游泳时间为小时，小船的漂移速度是v km/h，
则，，，
由余弦定理可知，
整理化简可得，
设，，令，
因为，，
的对称轴是直线，
．
所以函数在上有零点，即方程在内有解，所以安全员可以追上小船．
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键在于引入合适变量建立方程,利用二次函数知识判断方程是否有解.