黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三下学期第二次模拟考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三下学期第二次模拟考试 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数，则（ ）
A．B．2C．3D．4
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列是等比数列，若，则（ ）
A．13B．C．7D．
7．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
10．下列叙述正确的是（ ）
A．已知幂函数是奇函数，则实数
B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为
C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为
D．函数在区间内有零点
11．如图，记的三个内角分别为，其对边分别为，的面积为．点为内一点，满足，则（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时，
三、填空题
12．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______．
13．已知圆经过点，且与直线相切于点，则圆的标准方程为______．
14．若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______．
四、解答题
15．在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，侧棱．
(1)求证：平面底面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围．
17．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”．
(1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望；
(2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值；
(3)若，求的最小值并求出此时的值．
18．已知数列满足，，，等比数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，证明：；
(3)设，求数列的前项和（其中表示不超过的最大整数，如，）．
19．已知双曲线的离心率为2，焦距为4．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点．
（ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标；
（ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】通过一元二次不等式确定集合，再结合交集运算即可求解.
【详解】由 ，解得 ，即 ，
又，
因此 .
2．A
【详解】复数.
因此的虚部为.
3．B
【分析】依据题意只需与同正且即可.
【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以有.
4．D
【详解】由题意得，
则.
5．B
【详解】由 ，得 ，所以 ，
于是 ，故 ，
由于 ，且 ，则 ，，
因此 ，.
6．B
【详解】因为数列是等比数列，
若，则，与题设条件不符，所以；
当时，所以，即，
所以.
7．C
【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，根据方差的性质可得，A对；
对于B选项，根据平均数的性质可得，
所以，B对；
对于C选项，由平均数的性质可知，
数据、、、的平均数为，
所以数据、、、、、、、的平均数为，
，所以，
，C错；
对于D选项，
，D对.
8．A
【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解.
【详解】取的中点为O，连接，
由于，故，
平面，故平面，
设，则，，
设，则四面体的体积，
要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面，
则此时，令，，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故时，取得最大值，此时取得最大值，
即得，
以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心为，则，
即，
解得，即外接球球心为，
故外接球半径为，
故外接球的表面积为.
9．AC
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论
【详解】A选项，若，则，
若，则，若，则，所以，充分性成立，
若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确；
B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误；
C选项，若，则，充分性成立，
当时，无意义，必要性不成立，C正确；
D选项，若，则，当时，，
故为成立的充分必要条件，D错误.
10．AD
【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误.
【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或，
当时，，，为偶函数，故舍去，
当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确；
选项B：将曲线向右平移个单位长度，得，
再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误；
选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误；
选项D：因为与在均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
又，，
所以，则在区间内有零点，故D正确.
11．ACD
【分析】根据条件，可判断，结合相似三角形的性质，可判断A；根据条件，先判断的形状为等腰直角三角形，在利用正弦定理和同角三角函数的基本关系，可判断B；利用三角形的面积公式结合余弦定理可判断C；先证明，再利用正弦定理得，进而可判断D.
【详解】对A：由，
又，所以，即，
所以，故A正确；
对B：当时，由A可知，.
设，由，可得，.
因为，所以，即，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以.
在中，，
由正弦定理，
，
所以，又为锐角，，
所以，故B错误；
对C：当时，
.
所以.
在中，由余弦定理可得，
；
同理在中，可得；
在中，可得，.
所以
，故C正确；
对D：在中，，，，
由正弦定理：
同理，在中，.
由，，
由，
由
.
当时，
由，
同理,,
所以
，故D正确.
12．
【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果.
【详解】∵向量在向量上的投影向量为，
∴，
∴，，则，
∴.
13．
【详解】设圆的标准方程为：，
由题意知：，解得：，
圆的标准方程为：.
14．1或
【分析】分别设出直线和两曲线的切点坐标，求出切线方程的表达式，联立方程组可解得切点坐标，代入计算可得斜率或.
【详解】设直线与曲线的切点为;
易知,可得,
因此切线方程为，即,
可得,
设直线与曲线的切点为;
又，所以,
切线方程为,即,
所以;
因此可得，整理可得，
解得;
当时，可得；
当时，可得;
所以或.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先在梯形ABCD中，证得；再在中利用勾股定理逆定理，得到，进而证明面面垂直.
（2）先建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量和平面的法向量，利用两个平面法向量的夹角公式，计算出两个平面夹角的余弦值即可.
【详解】（1）过作于，因为，所以，
又，则，
连接，在中，由余弦定理得
，
则，得到，
在中，由，得到，
又，，且，
而平面，平面，故平面，
又底面，平面底面.
（2）以为坐标原点，方向为轴正方向.
垂直于面方向为轴正方向，建立如图所示坐标系.
则，，，，.
而平面的法向量，设平面的法向量为，
而，，
则，
令，解得，即，
故平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
可得.
故平面与平面夹角的余弦值为.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数分析单调性可得；
（2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得.
【详解】（1），
①当时，恒成立，故在上递增；
②当时，在上递增，在上递减；
③当时，在上递减．
（2）因为在定义域内单调递减，所以．
不妨设，那么有，
于是不等式等价于，，
设，则，即在上递减，
故对恒成立，也即对恒成立，
令，则，故，
当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围为.
17．(1)分布列见解析，
(2)
(3)，
【分析】（1）先根据初中生和高中生的总人数比例，计算抽取的10名学生中初中生和高中生的人数，判断X服从超几何分布，再根据超几何分布的相关公式求解分布列和数学期望；
（2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解；
（3）首先利用条件概率公式，分别表示出和，再将它们相加化简得到关于的表达式，再利用函数求最值的方法进行求解，同时结合的条件确定此时的值.
【详解】（1）抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生
的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
的分布列为
；
（2）设事件“被调查者摸到白球”
，
当时，
（3），
，
当时，的最小值为.
18．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件，结合累加法，即可得的通项公式；根据条件及等比数列的前n项和公式，代入数据，求出q值，即可得答案.
（2）由（1）得的通项公式，利用放缩法，结合裂项相消求和法，即可得证.
（3）求出的通项公式，先证明，可得，即可得的通项公式，根据等差数列的前n项和公式，即可得答案.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，满足上式，；
设等比数列的公比为q，
则，，
解得，．
（2）由（1）得
.
（3）
先证．
法一：当时，成立，
当时，，
要证，只需证成立，
，恒成立，
．
法二：当时，成立，
当时，设，，
则单调递增，，
，，
则，．
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用双曲线的离心率和焦距的定义，结合的关系，可得，从而得到标准方程；
（2）（i）先设出点的坐标，写出直线的方程，求出它们与直线的交点，再利用的条件，结合双曲线方程联立求解即可；
（ii）借助向量的坐标运算判断出三点共线，然后根据直线的倾斜角的范围确定斜率的范围，最后结合面积公式化简，通过换元法即得面积取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的焦距为4，即，所以，
由，得，
又因为，
因此双曲线的标准方程为.
（2）（i）由题意知：双曲线的左、右顶点分别为，
设点，有，
则直线，当时，有，
直线，当时，有，
所以，即，
又，即，代入上式化简得：，
两边平方化简得，故，代入双曲线得，因此.
（ii）因为右焦点，，
设直线，联立方程组，化简得：，由韦达定理得：，，
又因为，，
且
，
所以，点三点共线，
设直线，，，
联立方程组，整理得，
所以，，
又
令，
则．
【点睛】以双曲线为载体，先利用基本关系确定双曲线方程，结合几何条件联立方程，最后用代数方法求解坐标与范围，核心是将几何条件转化为代数运算，同时注意双曲线的定义与变量的取值范围.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
B
B
C
A
AC
AD
题号
11









答案
ACD









0
1
2
3