黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知平面向量，，且，则（ ）
3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
4. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
5. 对于锐角，满足，则（ ）
6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ）
7. 已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）
8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ）
11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若在的展开式中，含项的系数为80，则________．（用数字作答）
13. 已知随机事件，．若，，，则________．
14. 在中，的面积为，且，则的最小值为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 设函数，．
(1)若在处切线为，求实数的值；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
16. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？
(2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差．
参考公式：，其中．
17. 已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）．
(1)若D为中点，求证：．
(2)若，
①求平面和平面所成角的正弦值；
②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值．
19. 椭圆与圆和圆都外切．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上；
(3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R，
①求证：．
②求面积取最小值时K点的横坐标．
黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、空间向量与立体几何、复数、三角函数与解三角形、数列、函数与导数、计数原理与概率统计、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．5
B．
C．37
D．
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
A．
B．1
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．5
C．
D．6
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．样本中得分不低于80分的同学有15名
C．估计样本的40%分位数为66分
D．该组数据的平均数大于众数
A．
B．的面积为
C．
D．内切圆的半径
A．当时，异面直线与成角的余弦值是
B．当时，直线与平面成角的余弦值是
C．的最大值是
D．三棱锥体积的最大值是
球队赢球
球队输球
总计
参加
30
12
42
未参加
20
20
40
总计
50
32
82
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
3
适中
13
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；补集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.65
由向量共线（平行）求参数；坐标计算向量的模
3
0.85
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；判断面面是否垂直
4
0.85
复数的坐标表示；复数的除法运算
5
0.65
二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
6
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；基本不等式“1”的妙用求最值
7
0.65
对数的运算；函数不等式能成立（有解）问题
8
0.65
正弦函数图象的应用；辅助角公式；三角恒等变换的化简问题
二、多选题
9
0.65
由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
10
0.65
切线长；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；三角形面积公式及其应用；双曲线定义的理解
11
0.4
锥体体积的有关计算；求线面角；余弦定理解三角形；求异面直线所成的角
三、填空题
12
0.65
求二项展开式的第k项；由项的系数确定参数
13
0.65
计算条件概率；概率的基本性质
14
0.4
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；辅助角公式
四、解答题
15
0.65
已知切线（斜率）求参数；已知函数最值求参数；用导数判断或证明已知函数的单调性
16
0.65
独立性检验解决实际问题；超几何分布的分布列；超几何分布的均值；离散型随机变量的方差与标准差
17
0.65
错位相减法求和；数列不等式恒成立问题；由定义判定等比数列；由递推关系证明等比数列
18
0.65
求二面角；线面垂直证明线线垂直；多面体与球体内切外接问题；空间向量的坐标表示
19
0.15
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的定直线；根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中向量点乘问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,6
3
平面向量
2
4
空间向量与立体几何
3,11,18
5
复数
4
6
三角函数与解三角形
5,8,10,11,14
7
数列
6,17
8
函数与导数
7,15
9
计数原理与概率统计
9,12,13,16
10
平面解析几何
10,19