安徽省合肥市第八中学2026届高三下学期阶段性检测（一）数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第八中学2026届高三下学期阶段性检测（一）数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
是符合题目要求的。
1. 已知集合 ， ，则 子集的个数为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．16
2. 若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
5. 已知数列 ， 为等差数列，其前 项和分别为 ， ，且满足 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
6. 已知点 ，直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两点，
且 ，则直线 的斜率之和为（ ）
A． B． C． D．
7. 下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
B．一组数据 的第 百分位数为
C．若线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数 的值是
8. 定义：各位数字之和为 5 的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ）
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A．35 B．32 C．29 D．20
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知曲线 C 的方程为 ，下列说法正确的有（）
A．曲线 C 关于直线 对称 B． ，
C．曲线 C 被直线 截得的弦长为 D．曲线 C 上任意两点距离的最大值为
11. 如图，已知正方体 的棱长为 2，P 是正方形 （包括边界）底面内的一动点，则下
列结论正确的有（ ）
A．三棱锥 的体积为定值 B．存在点 P，使得
C．若 ，则 P 点在正方形 内的运动轨迹长度为
D．若点 P 为 的中点，点 Q 为 的中点，过 P，Q 作平面 平面 ，则平面 截正方体
所得截面的面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知曲线 在点 处的切线与 轴平行，则点 的坐标为__________.
13. 已知幂函数 在 上单调递增，若正数 、 满足 ，则 的最
小值为 ．
14. 对于任意两个正实数 a，b，定义 ，其中常数 ．若 ，且 与 都是
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集合 的元素，则 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）在△ABC 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且△ABC 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上的高 .
16.（15 分）已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
17.（15 分）如图，已知四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，设平面 与平面 的
交线为直线 .
(1)证明： ；
(2) ，点 在直线 上.
（i）若 ，且点 均在球 的球面上，证明：点 在球 的球面上；
（ii）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
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18.（17 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 在 C
上.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过 的直线交双曲线 C 于 M，N 两点（M，N 两点均位于 x 轴下方，M 在左，N 在右），线段 AM 与线段
交于点 R，若 的面积等于 的面积，求直线 MN 的方程.
19.（17 分）已知函数 ， ，记 的零点为 .
(1)求 ；
(2)求数列 中的最小项；
(3)证明： .
2026 届合肥八中高三下学期数学阶段性检测一参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 【答案】C
【详解】由 ，
，
所以 ，故 子集的个数为 个.故选：C
2. 【答案】C
【详解】因为“ ”是假命题，所以“ ”是真命题；
即 a 要小于等于 的最小值，又当 时， ，故 .故选：C
3. 【答案】C
【详解】 ，故 .故选：C
4. 【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
5. 【答案】C
【详解】等差数列前 项和 ， ，所以 ，
由等差数列性质知 ， ，所以 .
又 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
1
令等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 ，
则 ①， ②， ③，
由②得， ，由③得， ，
代入①中，整理得， ，所以 ，故 .故选：C.
6. 【答案】B
【详解】由题意知直线 过 的焦点 ，将 与 联立，
得 ，所以 ， ， ，
由抛物线定义可得 .
又 ，解得 ，直线 的斜率为 ，
直线 DA 与 DB 的斜率之和为 ，
所以直线 的斜率之和为 .故选：B.
7. 【答案】B
【详解】对于 A，因为 ，又 ，则
，正确，
对于 B，因为 ，所以数据 的第 百分位数为 ，错误，
对于 C，因为线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强，正确，
对于 D，由题知 ，解得 ，正确.故选：B
8. 【答案】A
【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果.
【详解】各位数字之和为 5 的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，
当首位数字为 5 时，则剩余三位数分别是 0，0，0，共有 1 个“吉祥数”；
当首位数字为 4 时，则剩余三位数分别是 1，0，0，共有 3 个“吉祥数”；
2
当首位数字为 3 时，则剩余三位数分别是 1，1，0 或 2，0，0，共有 个“吉祥数”；
当首位数字为 2 时，剩余三位数分别是 2，1，0 或 3，0，0 或 1，1，1，共有 个“吉祥数”；
当首位数字为 1 时，则剩余三位数分别是 3，1，0 或 4，0，0 或 1，1，2 或 2，2，0，共有
个“吉祥数”，则共有 个“吉祥数”．故选：A．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 【答案】ABD
【详解】对于 A 选项，因为 ， ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B 选项， ，故 B 正确；
对于 C 选项， ，故 C 错误；
，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 【答案】ACD
【详解】选项 A：将方程中的 和 互换，得到 ，与原方程一致，因此曲线关于直线 对
称，A 正确；
选项 ：通过分析方程 ，设固定 ，解关于 的二次方程，判别式要求 ，
得 ，即 ，超出 ，同理 的范围也超过 ，B 错误；
选项 C：将直线 代入曲线方程，解得交点为 和 ，
故弦长为 ，C 正确；
选项 D： 则 即
又 ，即 ，
3
则
同理可得： ，
则曲线 的上任一点 到 的距离之和为：
曲线 表示以 为焦点且 的椭圆，则 ，
则线段 的最大值为 正确；故选：ACD
11. 【答案】ACD
【分析】利用等体积法判断 A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断 B；确定轨迹并求出长度判
断 C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断 D.
【详解】对于 A，在正方体 中，平面 平面 ，
则点 P 到平面 距离为定值， 的面积为定值， 为定值，A 正确；
对于 B，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设 ， ， ，
不垂直，因此不存在点 P，使 ，B 错误；
对于 C，连接 ， 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则 .
4
同理得 ，又 平面 ，则 平面 ，
由 ，得 平面 ，又 平面 ，因此点 轨迹为平面
与底面 交线，即为线段 ，又 ，C 正确；
对于 D，取 中点为 ，连接 ， 平面 ，
由 平行于 ， 平面 ，得 ，又 ，则 平面 ，
又取 中点为 ，则 ，有 四点共面，则平面 平面 .
平面 即为平面 ，设平面 分别与 交于 ，
由平面 平面 ，平面 ，平面 ，
则 ，又 都是中点，则 是 中点，同理 是 中点，
于是平面 截正方体 所得截面为正六边形，又正方体棱长为 2，则 ，
所以截面面积为 ，D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 【答案】
5
【详解】易知 ，设 ，所以曲线 在点 处的切线斜
率为 ，由题意可知 ，解之得 或 ，
当 时， ，此时切点在 x 轴上，不合题意；当 时， ；所以 .
故答案为：
13. 【答案】
【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数 的等式或不等式，解出 ，可得出 ，将代
数式 与代数式 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为幂函数 在 上单调递增，
则 ，解得 ，正数 、 满足 ，则
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故答案为： .
14. 【答案】
【详解】由 与 都是集合 的元素，
不妨设 ，因为 ，所以 ，
由已知 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ， ， 则 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 .故答案为： ．
15.（13 分）【答案】(1) (2)
6
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又△ABC 的面积 ，所以 ，
所以 .
（2）由正弦定理得 ，则 ，所以 ，
由余弦定理， ，解得 ，
即 ，又△ABC 的面积 ，
解得 ，即 边上的高 为 .
16.（15 分）【答案】(1) (2)
【详解】（1）当 时， ，当 时， ，
当 时， 也符合 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，
17.（15 分）【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 或
【详解】（1）在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
（2）以点 为原点， 为 轴，
如图建立空间直角坐标系 ，
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则 ， ， ， ， ，
（i）因为点 在直线 上，
设 ，因为 ，则 ，即 ，
设点 所在球 的球心 ，
则 ，
即 ，
解得 ，即球心 ，半径为 ，
又 ，
所以点 在球 的球面上；
（ii）设 ，且 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
可取 ，记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 或 ，所以 的长为 或 .
18.（15 分）【答案】(1) ； (2) .
【详解】（1）方法 1：根据题意，得 ，解得 ，所以双曲线 C 的标准方程为 ；
方法 2：根据题意知 ，
，则 ，
双曲线 C 的标准方程为 ；
（2）由题知直线斜率不为 0，设过 的直线为 ，
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因为 ，所以 ，
即点 和点 到直线 的距离相等，
则有 ，解得 （舍），
则直线 MN 的方程为 .
19.（17 分）【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 有唯一零点 1，即 ；
（2）由 的零点为 ，
得 ，
两式相减得： ，
即 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以由 ，得到 ，
所以 ，所以数列 是递增数列，
所以数列 中的最小项是 ；
9
（3）令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，即 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以
在 中，令 ，得 当且仅当 时，等号成立，
当 时， ，
所以当且仅当 时， ， 中等号成立，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
当 时，在 中，令 ，
得 ，
所以 ，
所以当 时，
，
当 时， 成立，
所以 ，综上得证.
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