黑龙江省哈尔滨第三中学2026年高三下学期第一次模拟考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知复数 是纯虚数，则实数 的值为
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
【答案】B
3.函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】D
4.2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bt》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合. 根据系统日志, 一个机器人执行 “后空翻”任务时, 落地状态仅存在三种互斥的情况:①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准，必定能站稳； ②跟跄落地 (概率为 0.2):重心略偏，90%能站稳； ③近乎倒地(概率为 0.1):姿态失衡，50%能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
【答案】D
5.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知函数 是定义在 上的偶函数, 关于 中心对称,则下列说法正确的是
A. 的一个周期为 6 B.
C. D.
【答案】B
7.某广场地面上有一条直线轨道 与两个固定反光点 和 ( 为灯光照射的角度参数),一移动激光灯 沿轨道 移动,激光灯 发出的光线会同时照射到 和 ,形成两个光斑. 为了让光斑的亮度达到最佳效果,需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值 定义为 与 的数量积. 则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值 的最小值为
A. 12B. C. D.
【答案】C
【解析】显然 是单位圆 上两点, 关于原点对称,故 是直径,
则
因为 的最小值为 到 的距离,即
故 .
8.关于 的方程 有两不同实根,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式可变形为: ,设 ,则 ,而 在 上单调递增,则有 ,即 ,设 ,则 ,则 在 上单调递减,在 上单调递减,且 时, 时, 则有 ,即 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图,在正三棱锥 中, 是 中点, 是 中点,点 满足 ,直线 相交于 ,下列说法正确的是
A. B.
C. 与 是共线向量D.
【答案】AC
10.已知椭圆 分别是椭圆 的左右焦点, 是原点, 是椭圆 上任意一点,下列说法正确的是
A. 的周长是
B. 时, 的面积是
C. 的最大值是 2
D. 过 作椭圆 的切线与 轴和 轴分别交于 两点，则 面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】已知椭圆
A. 周长为 , A 正确
B. 由焦点三角形面积可得 的面积是 错误
C. 正确
D. 设过点 的切线为 ,与椭圆联立可得令判别式为 0 可得,
,直线与 轴交于点 ,
则 , D 正确.
11.已知数列 ,给出以下定义: 对于任意的 ,都有 ,则称数列 为“友好数列”; 特别地,对于任意的 ,都有 ,则称数列 为“超越友好数列”，下列说法正确的是
A. 若数列 满足 ，且前 项和为 ，则数列 为“友好数列”
B. 若数列 满足 ，且数列 为“超越友好数列”，则
C. 若数列 为“超越友好数列”, 且 ,则数列 没有最小项
D. 若数列 为“友好数列”,则对于任意的 . 当 时, 总有 成立
【答案】ABD
【解析】由 易知 正确
由 可得
即 ,
即 ,故 正确
任意的 ，都有 .
设 则数列 为单调递增数列,且 ,
所以
所以存在 时, ,即 先递减再递增,因此,
数列 存在最小项,故 错误
由
可得 ,即
整理可得
同理 即 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知随机变量 ,则 ________.
【答案】
13.如图,在平面四边形 中, , 则 的面积是_______.
【答案】
14.平行六面体 所有棱长都相等, ,点 在底面 的射影为 中点,且直线 与底面 夹角为 ,则三棱锥 的外接球被平面 截得的截面面积为________.
【答案】
【解析】取 的中点 ,连接 . 由题意可知 平面 ,且 为等腰直角三角形. 因此可得: ,进而推出 ,由此可判定 是三棱锥 的外接球球心,该外接球的半径 .
设球心 到平面 的距离为 ,根据等体积法:
，得 ，
求解上述方程，得球心到截面的距离:
设截面圆的半径为 ,根据球的截面性质 (勾股定理),
截面圆半径、球的半径与球心到截面的距离满足: .
根据圆的面积公式,可得截面圆的面积为: .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) (1 分)
(4 分)
,满足
(5 分)
(2) (9 分)
(13 分)
16.为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系, 某学校采用按比例分层抽样的方式得到 200 名学生的测验成绩, 样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图 1 所示. 若认为成绩不低于 120 分为优秀, 且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图 2 所示, 已知样本中高三年级有 15 位同学成绩为优秀, 且在所有数学成绩为优秀的学生中, 认真完成作业的学生占 80%.
(1)求 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方 列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
附: .
【解析】(1) (2 分)
下四分位数为 102.5(4 分)
(2)零假设 :认真完成作业与成绩无关(6 分)
(8 分)
(列联表中的 4 个数全部正确可得 2 分, 否则不给分)
则零假设 不成立,即认真完成作业与成绩有关,
该判断出错概率不超过 0.001(13 分)
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.4
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.1
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的 4 倍, 差异显著(15分)
17.如图,在四棱锥 中，四边形 为正方形， 分别是线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，且平面 与平面 夹角余弦值为 ，求 的长.
【解析】(1)证明:
连接 ,交 于 . 因为四边形 是正方形,所以 为 中点.
因为 是 中点,所以 . (2 分)
因为 平面 平面 ,所以 平面 . (4 分)
(2)因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ,所以 平面 . (6 分)
过 作 平面 ,则 . 又 ,
故 两两垂直. 以 为原点，分别以 所在直线为 轴,建立
空间直角坐标系 . (8 分)
设 ,则 . 各点坐标为: , . 则 . 设平面 的法向量为 ,有:
令 ,则 , ,所以 分
因为 ,且 平面 ，
所以 平面 .
因此,平面 的一个法向量为
由题知: ,即:
化简得: ,解得: (舍).
所以 ，则 . (15 分)
18.已知抛物线 焦点为 为抛物线 上的三个动点,且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 分别作抛物线的三条切线，分别为 交于点 交于点 交于点 .
(i)证明: 的垂心在一条定直线上;
(ii)已知 点在曲线 上,求 的面积的最大值.
【解析】(1)由抛物线焦点坐标，解得 ，故抛物线方程为 (3 分)
(2) 由方程 ,故在点 处切线方程为:
方程为
方程为 方程为 (5 分)
联立 故解得 ,
同理可得 (8 分) (每个坐标各 1 分)
则过 点与 垂直的直线为
过点 点与 垂直的直线
②
① -②可得
故 的垂心在一定直线 上(10 分)
(3)设 ，由(2)可知: 的直线方程为 ，将 代入可
得:
同理可得
故 的直线方程为 ，(12 分)
联立直线 与抛物线得
由弦长公式 ，为了使 的面积最大，必须保证 处的切线与直线 平行，所以 ，从而
故 的面积为
(14 分)
当 时,取得最大值 (17 分)
19.已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ,求证: .
【解析】(1) ， (1 分)
设
① 时， ， 在 上单调递增，则 ， 在 上单调递增;
② 时， ，则 在 上单调递减.
则 的增区间为 (3 分)，减区间为 (5 分)
(2) 对 恒成立
,设 ,
① 时， 时， ， ， ，则 在 上单调递增,则 在 上单调递增,则 成立；(7 分)
② 时，由于 在 上单调递增，且 时， ,则存在唯一 ,使 ,且当 时, , 则 单调递减， ，不符题意，舍去. (9 分)
综上所述， (10 分)
(3) ,
设 ,则 ,
设 ,则 ,
设 ,则 ,
当 时, ,
,则 在 上单调递增,
,则存在唯一 ,使
在 上单调递减, 在 上单调递增,
,则存在唯一
与 ,使 与 ,且 在 单调递增,在 单调递减,在 单调递增,
则存在唯一 ,使 ,
且 在 上单调递增, 在 上单调递减; (12 分)
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使 .
当 时, ,
且 在 上单调递减, 在 上单调递减; (13 分)
综上, 在 上单调递增, 在 上单调递减, 在 上单调递增，(14 分)
则 .
,则 (16 分)
,则 ,则 成立(17 分)认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
40
10
成绩不优秀
60
90