四川省成都市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试题含解析

这是一份四川省成都市2024_2025学年高一数学下学期期中测试试题含解析，共20页。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1. 的值是（ ）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由两角和的余弦公式化简计算．
【详解】原式＝ ．
故选：B．
2. 已知复数 ：满足 ，则（ ）
A. 的实部为 B.
C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第一象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则和基本概念即可逐项判断．
【详解】 ， 的实部为 ，故 A 不正确；
∴ ，故 B 正确；
，故 C 错误；
复数 在复平面内对应的点为 在第四象限，故 D 不正确．
故选：B．
3. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，用斜二测画法画
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出的水平放置的梯形 的直观图为四边形 ，则四边形 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.
【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形 的直观图 如图所示，
可知四边形 是梯形， ， ， ，且 ，
过点 作 于点 ，由 ，故 ，
所以 .
故选：C.
4. “ ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式、充分和必要条件的知识来确定正确答案.
【详解】若 ，即 同号，则 可能是第一、三象限角；
若 是第一象限角，则 ；
所以“ ”是“ 为第一象限角”的必要而不充分条件.
故选：B
5. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位，可以得到函数
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（ ）的图象
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 ，
将 向右平移 个单位得到 .
故选：D
6. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选:A．
7. 吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三
角形中，已知 ， 为弧 上的一点，且 ，则 的最小值为（ ）
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A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得 ，再利用数量积的定义求解.
【详解】由 为弧 上的一点，得 ， ，则 ，
因此 ，
当且仅当 ，即点 与点 重合时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：D
8. 已知 中，角 对应的边分别为 ， ， ， 是 的中点且 ，
，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理得到 ，由 两边平方得 ，由
基本不等式求出 .
【详解】因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，可得 ，即 ，
所以 ，
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又 ，则 ，
是 的中点， ，故 ，
两边平方得 ，
，故 ，
其中 ，故 （当且仅当 时符号成立），
解得 ．
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知向量 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 是与 共线的单位向量，则 D. 取得最大值时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，根据两向量平行的坐标运算得解；对 B，由 可得 ，根据数量积的坐
标运算求解；对 C，与 共线的单位向量为 运算判断；对 D，根据向量数量积的坐标运算结合三角恒
等变换化简 ，利用正弦函数的性质运算求解判断.
【详解】对于 A，因为向量 ，所以 ，即 ，
故 A 正确；
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对于 B， 等价于 ，即 ，则 ，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C，与 共线的单位向量为 ，故 C 错误；
对于 D， ，
当 ，即 时， 取得最大值时，此时
，故 D 正确．
故选：ABD.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 的图象向左平移 m（ ）个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是
D. 若实数 m 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ， ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】先对函数化简变形 ，然后由三角函数的性质逐个分析判断
即可
【详解】易得 ，
当 时， ，所以函数 在 上有增有递，故 A 错误；
因为 ，所以 是 的一个对称中心，故 B 正确；
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的图象向左平移 个单位长度后得到 ，且 是偶
函数，所以 ， ，所以 ， ，且 ，所以当 时， ，
故 C 正确；
因为 ，作出 在 上的图象如图所示，
与 有且只有三个交点，所以 ，
又因为 时 ，且 , 关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若 是 边上的一点，且 ， ，则 的面积的最大值为
C. 若 是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是
D. 若 是 的外心， ，则 最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理与三角恒等变换求得 判断 A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得
，使用基本不等式即可求出面积最大值判断 B；利用正弦定理及三角恒等变换得
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，求出函数值域即可判断 C；根据模长关系可得 ，再利用三角代换可求得
的最小值判断 D.
【详解】对于 A， ，由正弦定理， ，
所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于В． 是 边上的一点，且 ，
则有 ，即 ，
由 ， ， ， ，
，所以 16 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的面积 ，故 B 正确．
对于 C，不妨设 最大，则 ，
又因为 是钝角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D．若 是 的外心，有 ， ，
由 ，所以 ，
得 ，
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设 ， ，则 ，
其中 ，当 取 “ ”，所以 D 正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
12. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】 在 方向上的投影向量为 ，
故答案 ： .
13. 如图，在测量河对岸的塔高 时，测量者选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，
并测得 ， ， 米，在点 处测得塔顶 A 的仰角为 ，则塔高
______.
【答案】 米；
【解析】
【分析】先根据正弦定理求得 ，进而在 中，利用 求解．
【详解】在 中， ， ， ，
则 ，
由正弦定理得 ，
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所以 .
在 中， ，
所以 米.
故答案为： 米
14. 已知 的外接圆为单位圆，且圆心为 ， ， ，点 是线段 上
一动点，则 的最小值是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意分析可知：O 为 的中点， ， ，建系，根据向量的坐标运算可
得 ，结合二次函数分析求解.
【详解】因为 ，可知 O 为 的中点，
又因为 O 为 的外接圆圆心，则 ，
且 ， ，则 ，则 ，
可知 为等边三角形，即 ，
如图，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
可得 ，
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则 ，
可知当 时， 取到最小值 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知 O 为 的中点，结合圆的性质可知 ，
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， 满足： ， ， .
（1）求 与 的夹角 的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）对 展开可得 ，再由向量夹角的余弦值公式即可求解；
（2）由向量垂直性质可得 ，化简后解方程即可求解实数 的值.
【小问 1 详解】
由题可得 ，
因为 ， ，代入可得 ，
，所以 与 的夹角 的余弦值 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
化简可得 ，
将 ， ， 代入可得 ，解得 或 .
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16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，
（1）求 B；
（2）若 ，求 c．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边，再由余弦定理即可求解；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出 ，由两角和的正弦公式求得 ，最后利用正弦定理
即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，化简得 ，
所以由正弦定理得： ，
所以由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由 ， ，又 ，解得 ，
因为 ，所以
,
在 中，由正弦定理 得 ，
所以 ．
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17. 如图，在 中，已知 ， ， ， 是 的中点， 是 上的点，且
， ， 相交于点 .设 ， ；
（1）若 ，试用向量 ， 表示 ， ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果；
（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得 ，再利用三角形面积公式计算即可.
【小问 1 详解】
由题意， 是 的中点，则 ，
因为 ，所以 ，
则 .
所以， .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以， ，解得 .
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所以， ，则 ，
所以 .
18. 设函数 ，其中 ， ， .
（1）化简 解析式，求函数 的单调增区间；
（2）在 中，角 所对 边分别为 ， ，求 周长的取值范围；
（3）若函数 在 内有两个相异的零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量 数量积公式可求得函数的解析式，然后根据三角恒等变换进行化简，最后利
用正弦函数的性质求出函数的单调递增区间；
（2）首先利用 求出 的值，然后利用正弦定理表示三角形的边，根据两角和的正弦公式和辅助
角公式将周长变形，再由角的范围结合正弦函数的性质即可求解；
（3）将函数 在 上有两个相异的零点问题，转换为函数 图象与直线 有两个不同
的交点问题，通过画图象进行判断满足两个不同交点的 的取值范围.
【小问 1 详解】
由函数 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间 ；
【小问 2 详解】
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由（1）知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
，所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 周长 取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由函数 在 内有两个相异的零点，
即 在 内有两个相异的实根，
即 和 的图象在 内有两个不同的交点，
由（1）知函数 的单调递增区间为 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值， ，
又 ， ，
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要使得 和 的图象在 内有两个不同的交点，
结合图象，可得 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
19. 已知 i 是虚数单位，a， ，设复数 ， ， ，且 .
（1）若 为纯虚数，求 ；
（2）若复数 ， 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数 a，b，使向量 逆时针旋转 后与向量 重合，如果存在，求实数 a，b 的值；如果
不存在，请说明理由；
②若 O，A，B 三点不共线，记 的面积为 ，求 及其最大值.
【答案】（1） 或
（2）①存在， ；② ，最大值为 2
【解析】
【分析】（1）计算 ，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合 可求出 的值，从而可求出
求 ；
（ 2） ① 方 法 一 ： 由 题 意 可 得 ， 然 后 解 关 于 的 方 程 组 可 得 结 果 ， 方 法 二 ： 设
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则 ，再由题意得 ，从而可求得结果，
②设向量 的夹角为θ， ，设复数 所对应的向量为 则 ，化
简后再利用 可求得其最大值.
【小问 1 详解】
因为复数 ，
所以 ，
而 为纯虚数，因此 ，即 .
又因为 ，且 ，所以 ，
由 ，解得 或 ，
所以 或 .
【小问 2 详解】
①存在，理由如下：
法一：由题意知： ，得 ，
解得 或 ，
因为 OB 逆时针旋转 后与 OA 重合，所以 ；
法二：设 是以 x 轴正半轴为始边，OB 为终边的角，则 ，
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所以 即 ，
所以 ，所以 ，
且 时，满足 .
所以 .
②因为复数 ， 对应的向量分别是 为坐标原点），且 O，A，B 三点不共线，
所以设向量 的夹角为θ， ，设复数 所对应的向量为
则 且 ，
因此 的面积 ，
，
设 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 或 时等号成立，
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所以 ，其最大值为 2.
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应
用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题.
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