2025_2026学年北京市北京工业大学附属中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市北京工业大学附属中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ）
A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，D．5，12，13
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ）
A．B．
C．D．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，，如果OE=2，那么对角线BD的长为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
6．下列命题中，不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且平分D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
7．下列关系中，是正比例函数关系的是（ ）
A．矩形面积一定时，长和宽的关系
B．正方形的面积和边长之间的关系
C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系
D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系
8．正方形的边长为4，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中：
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
9．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___．
10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
11．已知正比例函数的图象过点，则______．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m．
13．如图，中，平分，交于点E，，则AB的长为________．

14．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为______．
15．如图，将长方形沿折叠，使点落在边的点处，已知，，则的长是____．
16．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____．
三、解答题
17．计算：．
18．已知，求代数式的值．
19．如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：．
20．下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC
求证：四边形ABCD为正方形
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线MN 交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形 ABCD为平行四边形．（__________________）（填写推理依据）
∵OA=OB=OC=OD即AC=BD．
∴ABCD为 （__________________）（填写推理依据）．
∵ AC⊥BD，
∴四边形 ABCD为正方形（__________________________）．（填写推理依据）
21．如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，AC=16，DB=12，DH⊥AB于点H，求DH的长.
22．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.
（1）求证:四边形ABEF是矩形；
（2）连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
23．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是_______；
（2）表格是与的几组对应值：
则的值为________；
（3）请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质：_________．
24．材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算．
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：．
，
，即．
的最小值为1．
解决下列问题：
（1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______；
（2）求分式的最大值．
25．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，
（1）如果，那么R，S，T中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ；
（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标．
（3）如图2，在矩形中，F．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵22 +12=5 ≠3 2 ，∴不能构成直角三角形；
B、∵62 +72 =85≠82 ，∴不能构成直角三角形；
C、∵ ，∴不能构成直角三角形；
D、∵5 2 +12 2 =169=13 2 ，∴能构成直角三角形．
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】根据函数的定义解答即可．
【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】根据矩形的性质和题意已知，可以知道OE是△ABC的中位线，根据中位线的性质可以得到AB的长度，再根据，即可得到对角线BD的长．
【详解】∵矩形ABCD
∴点O为AC边的中点，
∵点E为BC边的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=4.
∵∠OCB=30°,
∴AC=2AB=8，
∴BC=AC=8.
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可；
【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分；
B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分；
C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查正比例函数的判定，关键在于识别各选项中变量间的表达式是否符合的形式．本题根据正比例函数的定义，逐一分析选项中的各个关系，判断是否满足正比例函数的条件，即形如（为常数且）．
【详解】解：A、矩形面积一定时，长与宽的乘积为定值，即，则长和宽的关系不是正比例函数关系，故选项A错误；
B、正方形的面积与边长的关系为，则正方形的面积和边长之间的关系不是正比例函数关系，故选项B错误；
C、三角形面积一定时，一边长与该边上的高的关系为（为常数），即，则三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系不是正比例函数关系，故选项C错误；
D、匀速运动中，速度一定时，路程与时间的关系为，符合正比例函数的形式，故选项D正确．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质与判定先画好图形，再逐一分析判断即可.
【详解】解：如图，记正方形的对角线的交点为，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
当时，
∴四边形是平行四边形，
∴存在无数个四边形是平行四边形；故①符合题意；
如图，过的中点作，交于，交于，
∴，，
由对称性可得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴存在无数个四边形是菱形，故②符合题意；
如图，当与重合时，过的中点作，交于，交于，
结合②可得：四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴至少存在一个四边形是正方形，故④符合题意．
由④可得：四边形是矩形存在，
此时，
∴结合①可得不可能在正方形的对边上（不含顶点），
∴必在正方形的相邻的两边上（含顶点），
如图，过的中点作线段，且，结合正方形的性质可得在正方形的邻边上，
∴此时四边形一定是正方形，
∴不存在无数个四边形是矩形；故③不符合题意；
∴正确的结论序号是①②④.
故选B
9．【正确答案】y=x（答案不唯一）
【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0．
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
10．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
．
11．【正确答案】
【分析】利用待定系数法把点代入正比例函数中即可算出k的值
【详解】把点代入正比例函数，得
解得
12．【正确答案】60
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝30，
∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．
13．【正确答案】4
【分析】根据平行四边形的性质可得、，利用线段间的数量关系可得,由平行线及角平分线可得、得出，即即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，BE平分，
∴，，
∴，
∴．
14．【正确答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设学校旗杆的高度是，根据勾股定理得到.
15．【正确答案】3
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，正确运用勾股定理是关键．
根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理得到，设，则，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴
∴.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键．
根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧，
∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为.
17．【正确答案】
【分析】化简二次根式，然后运用二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】计算：
解：原式


18．【正确答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
19．【正确答案】见详解
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵相交于点，
∴．
20．【正确答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形，矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【分析】（1）根据作图步骤画出图形即可；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可.
【详解】（1）作图如下；
（2）证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形 ABCD为平行四边形．（__对角线互相平分的四边形是平行四边形__）
∵OA=OB=OC=OD即AC=BD．
∴ABCD为 矩形 （__对角线相等且互相平分的四边形是矩形__）（填写推理依据）．
∵ AC⊥BD，
∴四边形 ABCD为正方形（___对角线互相垂直的矩形是正方形___）．（填写推理依据）
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形；矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直的矩形是正方形.
21．【正确答案】
【分析】先根据菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB==10，
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•10=×12×16，
∴DH=．
22．【正确答案】（1）见详解；（2） OF =.
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．
【详解】（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
（2）解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF=AC=.
23．【正确答案】（1）全体实数
（2）2
（3）见详解
（4）当时，y随x增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数；
（2）把代入中求出y的值即可得到答案；
（3）先描点，再连线即可得到答案；
（4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数.
（2）解：在中，当时，，
∴.
（3）解：如图所示，
（4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）．
24．【正确答案】（1）2，
（2）
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
∵分式可以变形为，∴；.
（2）解：
，
∵，
∴当时，有最小值为2，
∴有最大值为，
∴有最大值为，
∴分式的最大值为．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），见详解
【分析】本题考查了对称的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意，按要求作图即可；
（2）先根据点关于直线的对称点为点，得，，，进而则可推出，再根据菱形的性质得，证明即可得出结论；
（3）由得到，进而得到，， ，，即可得到，进而证明，得到，求出．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下：
如图，
∵四边形是菱形，
∴，与互相垂直平分，平分，
∵，
∴，，
∴，，
∵点关于直线的对称点为点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
26．【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点；
（2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知，由此可求得点B的坐标即可；
（3）过点M作轴，垂直为G，可得到为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围．
【详解】（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
（2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴或5．
∴B点的坐标为或．
（3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂直为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作轴，垂直为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴m的取值范围是：．