2025_2026学年北京景山学校远洋分校下学期八年级数学期中测试 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京景山学校远洋分校下学期八年级数学期中测试 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件是不可能事件是（ ）
A．明天会下雨B．小明数学成绩是99分
C．一个数与它的相反数的和是0D．明年一年共有367天
2．现有三张卡片，它们的正面图案分别为哪吒，哪吒，敖丙，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片图案相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（ ）
A．B．C．D．
4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A．B．C．D．
6．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=60°，PO=4，⊙O的半径是( )
A．2B．4C．1D．2
7．如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，且，，.则的长为（ ）
A．2B．4C．3D．5
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为( )
A．2B．4C．8D．
二、填空题
9．若2csα－＝0，则锐角α＝____________度．
10．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留根号）
11．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为______尺．”
12．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
（1）表格中a=________，b=________；
（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1）
13．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4．以点C为圆心作圆，当⊙C与边AB只有一个交点时，则⊙C的半径的取值范围是_____．
14．已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为________．
16．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：
其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．
（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为______元；
（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是______．
三、解答题
17．计算：cs45°﹣2sin30°+(﹣2)0．
18．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
19．如图，湖中有建筑物，某人站在建筑物顶部A在岸上的投影处C，发现自己的影长与身高相等．他沿方向走到D处，测得顶部A的仰角为．求建筑物的高．
20．截至年月日，哪吒之魔童闹海成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影班同学利用班会准备从“哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹”这四个人物中，各选一个进行人物分析，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个人物，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的人物进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到哪吒的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率．
21．如图，在中，，，，求，的长．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
23．如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向．
（1）求线段的长度；
（2）若小岛周围海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为 cm．
25．如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求FA的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，点、、是抛物线上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当时，求b的值；
（3）当时，求b的取值范围．
27．如图，在中，，是线段延长线上一点，连接，过点作于．
（1）求证：；
（2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于x轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点的“关联三角形”．

（1）已知点，求点的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点的圆心为，半径为．对于任意，若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出m的取值范围；
（3）已知的半径为r，，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：明天会下雨，可能发生也可能不发生，故A是随机事件；
小明数学成绩是99分，B为随机事件；
一个数与它的相反数的和是0，正确，所以C为必然事件；
明年一年共有367天，一定不会发生，为不可能事件．
故选D
2．【正确答案】B
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片图案相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片图案相同的结果有2种，
∴抽取的两张卡片图案相同的概率为．
故选B．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解．
【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意，
∴斜坡的坡角等于
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】根据题意可得四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解.
【详解】解：如图所示，连接，
∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心，
∴四点共圆，
∴，
∴，
故此题答案为A．
6．【正确答案】D
【分析】连接AO，由题意可得：∠APO=∠BPO=∠APB=30°，AO⊥AP，即可求AO的长度．
【详解】连接AO
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO=∠BPO=∠APB=30°，AO⊥AP
∴PO=2AO=4
∴AO=2
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出，，，用了方程思想．
设，根据切线长定理得出，，，求出，，根据，代入求出a即可．
【详解】解：设，
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
即，
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】连接CD，根据圆周角定理可得∠ACD=90，
∠D=∠B，sinD= sinB=，然后在RT△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长.
【详解】如图，连接CD，
∵AD是⊙0的直径，
∴∠ACD=90，∵∠D=∠B，
∴sinD= sinB=，
在RT△ACD中，∵sinD==，
∴AC=AD=8= ，故选A.
9．【正确答案】45°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】∵2csα0，∴csα．
又∵cs45°，∴锐角α=45°．
故答案为45°．
10．【正确答案】
【详解】解：如图，作AD⊥CD于D点．
∵∠B=30°，∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠CAB，
∴∠CAB=30°．
∴BC=AC=10m，
在Rt△ACD中，CD=AC•cs60°=10×0.5=5m，
∴BD=15．
∴在Rt△ABD中，AB=BD÷cs30°=15
11．【正确答案】1
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，
由垂径定理知，点E是的中点，
寸，
设半径为r寸，则寸
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
，
即圆的直径为寸，即为1尺．
12．【正确答案】0.71；0.701；0.7
【分析】（1）直接利用摸到红球的次数除以试验次数即可得到答案；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率.
【详解】解：（1）a=568÷800=0.71；
b=701÷1000=0.701；
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；
13．【正确答案】r=2或4＜r≤4．
【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用勾股定理计算出BC=4，再利用面积法计算出CD=2，讨论：当⊙C与AB相切时得到r=2；当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，CA＜r≤CB．
【详解】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ABC中，BC==4
CD•AB=AC•BC，∴CD==2，当⊙C与AB相切时，r=2；
当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．
综上所述：当r=2或4＜r≤4，⊙C与边AB只有一个公共点．
故答案为r=2或4＜r≤4．
14．【正确答案】7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
15．【正确答案】
【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，从而得到的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
【详解】解：连接、，如图，
直线切于点，
，
在中，，
当最小时，最小，
当直线时，有最小值2，
的最小值为．
故答案为．
16．【正确答案】6100；3，6，1或9，2，1或6，4，1
【分析】（1）列式计算即可求解；
（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分①，或②，或③，三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）依题意得(元).
（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y，
则，即，
整理得，
∵a，b，c都是正整数，
∴则必须是3的倍数，
∴①，或②，或③，；
分类讨论，
①当，，时，，不合题意，舍去；
当时，，，
∴，
∵，
∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时；
②当，，时，由（1）得，不合题意，舍去；
当时，，，
∴，
∵，
∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时；
③当，时，，，或，或
当，，时，，不合题意，舍去；
当，或时，；
综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或9，2，1或6，4，1．
17．【正确答案】
【分析】依据特殊角的三角函数值和零次幂，即可得到的值．
【详解】原式=
=．
18．【正确答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
19．【正确答案】
【分析】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题，熟练掌握等腰直角三角形性质，正切定义，的正切值，是解题的关键．
根据等腰直角三角形得，设，根据，，得，解得，即得．
【详解】解：如图，连接，
由C处人身高与影长相等可知，，
设，
∵
∴．
在中，，
∵，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴建筑物的高．
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到哪吒的结果有种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到哪吒的结果有种，
抽到哪吒的概率为．
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果有：，，共种，
甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率为
21．【正确答案】，
【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．过B作于D，在中求得， ，再在中根据解直角三角形求出，可得答案．
【详解】解：如图，过B作于D，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
22．【正确答案】见详解.
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．
【详解】证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
23．【正确答案】（1）海里；
（2）航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见详解．
【分析】本题主要考查了解直角三角形、三角形外角的性质、锐角三角函数．
过点作，垂足为，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得海里；
根据可求海里，比较可得，航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
根据题意可知，，
，
，
海里；
（2）解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：
在中，，，，
，
（海里）
，
航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
24．【正确答案】（1）2.41；（2）详见详解；（3）1.38或4.62（本题答案不唯一）．
【分析】（1）描出图象后，测量x＝4时，y的值，即可求解；
（2）描点作图即可；
（3）当BD＝AC时，即：y＝2，即图中点A、B的位置，即可求解．
【详解】（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一），
故答案是2.41；
（2）图象如下图所示：
当x＝4时，测量得：y＝2.41；
（3）当BD＝AC时，y＝2，
即图中点A、B的位置，
从图中测量可得：xA＝1.38，xB＝4.62，
故：1.38或4.62．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）3
【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；
（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CF=，最后证△EOC∽△EAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵CB，CD分别与相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FAOC；
（2）解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=，
∵FAOC，
∴△EOC∽△EAF，
∴，即，
∴FE=3，
∴FA=FE=3．
26．【正确答案】（1）（0，1）；
（2）-2；
（3）-2＜b＜-1；
【分析】（1）令x=0，代入抛物线求得y值即可解答；
（2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可；
（3）根据，，将x的值代入抛物线解不等式，再求不等式的解的公共部分即可；
【详解】（1）解：令x=0，得：y=0+0+1=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）解：当时，由点，可得抛物线对称轴为x=1，
∴，
∴b=-2，
（3）解：由可得：1+b+1＜1，b＜-1，
由可得：1-b+1＞1，b＜1，
由可得：9+3b+1＞1-b+1，b＞-2，
∴当时，-2＜b＜-1；
27．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②，见详解
【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证．
（2）①依题意画出图形即可求解；
②在上截取，使，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得出，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图1，
∵
∴，
∵，
∴．
（2）① 补全图形如图2．
②
证明：在上截取，使，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
∵射线绕点顺时针旋转后与线段的延长线交于点，且，
∴．
28．【正确答案】（1）4
（2）
（3）0°