2025_2026学年北京市石景山区景山远洋分校七年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市石景山区景山远洋分校七年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．4，5，7C．5，12，13D．10，10，10
3．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍B．扩大3倍
C．缩小3倍D．不变
4．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
A．2B．4C．8D．10
6．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
7．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（ ）
①当时，则．
②当时，则．
③当时，则．
④当时，则．
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
9．如果分式有意义，那么实数的取值范围是______．
10．如图，在数轴上点A表示的实数是________________．

11．如图所示的网格为正方形网格，则______．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________．
13．如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____．
15．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ____．
16．如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为_____________，第n个正方形的面积为_____________（用含n的代数式表示）．
三、解答题
17．计算：
（1）.
（2）.
18．解方程：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
21．如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形.
22．已知：．
求作：直线AD，使得．
作法：如图，
①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；
②作直线MN交AC于点E；
③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵______，______，
∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．
∴（______）（填推理的依据）．
23．如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求DF的长．
24．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长．
25．列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
26．在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算．
参考小智的方法，完成下面的问题：
（1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值；
（2）求分式的最大值．
27．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明；
（3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系．
28．对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，．
（1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____；
（2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度；
（3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数， 一般形式为（， n为正整数）， n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理运算判断．
【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意；
D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
故选C．
3．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键．
根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论．
【详解】解：把分式中和都扩大3倍，
即：，
∴分式的值不变．
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：，则A符合题意；
无法约分，则B不符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意；
故选．
5．【正确答案】C
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案．
【详解】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，
故选A．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可．
【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，
∴物体A的密度为，物体B的密度为．
∵A，B两个物体的密度之比为，
∴．
故选A．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解．
【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意；
②当时，，则，
∵，，
不成立，故②不符合题意，④符合题意；
③∵于点D，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，符合题意，
∴正确的有①③④，
故选C．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
10．【正确答案】
【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是.
11．【正确答案】90
【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解： ∵和中，
，
，
，
∵是的一个外角，
，
即，
，
．

12．【正确答案】70
【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案．
【详解】解：在菱形中，，，
，，
．
13．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴
，
∴
∴
补充：或或，
∴四边形AEFD是矩形.
14．【正确答案】6
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴.
15．【正确答案】16
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意作出如下图，
得，，，是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积.
16．【正确答案】2；
【分析】根据勾股定理求出、、、 ，的边长，根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1；
∴，正方形的面积为；
∴，正方形的面积长为；
……
∴，正方形的面积为．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．
（2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验；方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可．
【详解】解：方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
19．【正确答案】，4
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法进行化简原式，然后根据，可以得到，最后代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
，
，
原式．
20．【正确答案】见详解.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE．
21．【正确答案】见详解.
【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定.
【详解】解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF．
∴AD∥EF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图，直线AD即为所求；
（2）证明：连接CD．
∵AE＝EC．BE＝ED．
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）.
23．【正确答案】（1）见详解
（2）5
【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，利用“AAS”证明三角形全等，即可求解；
（2）根据（1）的全等三角形的性质得到，进而推出，然后根据勾股定理求．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，．
∵将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F，
∴，，
∴，．
在和中
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴．
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC=AB=8，则OA=4，再由勾股定理得OD=，然后由矩形的性质得AE=OD=，DE=OA=4，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD．
∴ ∠AOD=90°．
∴四边形AODE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，，BO=OD．
又∵∠ABC=60°，AB=8，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=8．
∴．
．
∴OD=BO=．
∴矩形AODE的周长为2（AO+OD）=2×(4+)=8+
25．【正确答案】30米
【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
26．【正确答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了分式的化简求值．
（1）依题意，原分式可化为，可得解；
（2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，
，
原分式的最大值为．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）PE＝PF；见详解
（3）
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，证出四边形PMAN是正方形，得出∠MPN＝90°，证明△PME≌△PNF（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝PF；
（3）由全等三角形的性质得到ME＝NF，由等腰直角三角形的性质得到AP＝AN，根据线段和差可得出结论．
【详解】（1）解：依题意补全图形如下，
（2）PE＝PF；
证明：过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，∠MAB＝90°，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，
∴四边形PMAN是正方形，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴PE＝PF；
（3）AE＋AF＝AP；
证明：由（2）可知，AM＝AN，ME＝NF，
∴AF＝AN＋NF＝AN＋ME＝AN＋AM−AE＝2AN−AE，
∵∠PAN＝45°，
∴AP＝AN，
∴AF＝AP−AE，即AE＋AF＝AP．
28．【正确答案】（1）；
（2）
（3）点P，线段．
【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案；
（2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可；
（3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D，
则，
，，
，
∵垂线段最短，
∴（点C，线段）；
在中，，
，
，
在中，，
∴（点C，线段）；
（2）解：过点P作于点D，连接，，如图2，
点B关于直线的对称点为，
，，，
，
由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍，
即，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
线段的长度为；
（3）解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时，
则，，
，
当点H在线段的延长线上且时，如图4，
∵，
∴，
∴，
，
当点H在线段的延长线上且时，
同理可得，
综上所述，点P，线段．