河南省青桐鸣大联考2025届高三下学期4月数学试卷（含答案）

这是一份河南省青桐鸣大联考2025届高三下学期4月数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−7,−3,1,5}，B={x|y= lg(x+2)}，则A∩B=
A. {−7,−3}B. {1,5}C. {−3,1,5}D. {5}
2.已知f(x)=(2025+m) sinx−x⁴为偶函数，则实数m=( )
A. 0B. 1C. −2025D. −2024
3.已知α为平面，m，n为两条不同的直线，且m// α，设命题甲：m//n；命题乙：n// α，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4.已知随机事件M，N满足M⊆N,P(M)=119,PN=1719,则P(M|N)=
A. 12B. 1719C. 119D. 217
5.记抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，E上一点A满足∣AF∣=3p2，则直线FA的斜率为
A. ±1B. ± 2C. ±2D. ±2 2
6.已知a>1，且lga9×lga3=1−lga3，则a=
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.已知变量y与变量x的关系可以用模型y=c1ec2x (c1,c2为常数)拟合，设z=lny，变换后得到一组数据如下：
由上表可得经验回归方程为z^=0.206x+â,则c1=
A. 0.206B. e0.206C. 0.596D. e0.596
8.函数f(x)= sinx+sin2x在x∈[0,2π]上的零点和极值点的个数分别为( )
A. 5，3B. 5，4C. 3，4D. 3，2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z=4+2ai1−i，i为虚数单位，a∈R，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是
A. 若z为纯虚数，则a=2
B. 若z在复平面内所对应的点位于第一象限，则a∈(−3,3)
C. |z|的最小值为2 2
D. zz为定值
10.已知O为坐标原点，点P(csα,sinα)，Q(csβ,sinβ)，A(1,1)，则下列说法正确的是
A. OP→⋅OQ→=cs(α−β)
B. 若OP=QA,则∣PQ∣=∣OA∣
C. △AOP和△AOQ的面积之和的最大值为1
D. 若∠PAO=π4，则OA⋅OP=∣AP∣2
11.记Sn为数列{an}的前n项和，且2nann为等差数列，ann(n+1)为等比数列，a1=1,则下列说法正确的是( )
A. an=n(n+1)2n
B. 存在正整数m，对于任意的正整数r≠m，均有ar0)上一点，且直线y=2与C有且仅有一个交点，则C的焦距为 ．
13.设函数f(x)=ex，若f(a)+2f(b)=f(a+b)，a，b∈R，则当f(a+b)取得最小值时，a−b= ．
14.已知(x0,y0)是函数f(x)= ln(3x−1)+3的图象上一点，函数g(x)=f′x0x满足g(1)=3，则坐标原点到曲线 f(x)在点(x₀,y₀)处的切线的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异．
(1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率.在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为x．
(ⅰ)求P(X≤1)的值;
(ii)求X的分布列和期望．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A₁B₁C₁中，四边形BB₁C₁C为正方形，AB⊥BC，AB=BC=6.点M，N满足 AM=2MA1,C1N=2NC,MN⊥BB1.
(1)证明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
(2)求三棱锥A−BMN的体积;
(3)求直线B₁M与平面ABN所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsinC+ csinB=bcsC+ccsB．
(1)求△ABC的面积．
(2)若AB⋅AC=1.
(i)求bc的值；
(ii)求△ABC内切圆的半径．
18.(本小题17分)
已知双曲线W:x2−y2b2=1(b>0)的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，在△APQ中，边PQ的中点为R.当直线PA的倾斜角为π4时，有|PF|=|AF|．
(1)求W的离心率；
(2)若直线PQ不与x轴平行，且2|AR|=|PQ|，证明：直线PQ过定点．
19.(本小题17分)
若b21，使 man+1是an+2和an的等比中项，且 mbn+1是bn+2和bn的减比中项，n∈N∗．
(i)证明： an+2bn+1是an+1和bn+2的减比中项；
(ii)记数列bn−anbn+1−an+1的前n项和为Sn，证明：Sn0，
y1+y2=−6mn3m2−1，y1y2=3n2−33m2−1，x1=my1+n，x2=my2+n，
因为PA⊥QA，AP=(x1+1,y1)，AQ=(x2+1,y2)，
所以AP⋅AQ=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0，
即(my1+n+1)(my2+n+1)+y1y2=0，
展开得(m2+1)y1y2+m(n+1)(y1+y2)+(n+1)2=0，
将y1+y2=−6mn3m2−1，y1y2=3n2−33m2−1代入上式，
等式两边同时乘3m2−1得，(m2+1)(3n2−3)−6m2n(n+1)+(3m2−1)⋅(n+1)2=0，
即2n2−2n−4=0，解得n=2或n=−1(舍去)，
所以直线PQ:x=my+2，即经过定点(2,0)．
19.解：(1)若2是a和c的减比中项，则ac>4，
故a2+c2≥2ac>8，当且仅当a=c时取等号，
故a2+c2的取值范围为(8,+∞).
(2)证明：(i)由 mbn+1是bn+2和bn的减比中项，
则mbn+12mbn+1bn>m2bnbn−1>⋯>mnb2b1=mn．
同理，由于man+12=an+2⋅an，
则{an}为正项数列，
故an+2an+1=man+1an=m2anan−1=⋯=mna2a1=mn，
故bn+2bn+1>mn=an+2an+1，
故an+2bn+1a2，an+2an+1an≥1.
易得bn+2an+2>bn+1an+1，
则bn+2−an+2an+2>bn+1−an+1an+1，
也即bn+2−an+2bn+1−an+1>an+2an+1．
由(i)，有bn+2−an+2bn+1−an+1>mn，则0