广东省广州市2025届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省广州市2025届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则的元素个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 已知复数满足，则的最小值为
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 24B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ）
A. 若，则
B. 若，则成对数据的样本相关系数等于
C. 若，则成对数据的样本相关系数大于
D. 若，则成对数据的经验回归方程
10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ）
A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为4
B. 若直线被圆截得的弦长为2，则
C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则
D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1
11. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A. 是钝角三角形
B. 直线与平面所成角为定值
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______.
13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______.
14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：.
16. 如图，直四棱柱底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上.
（1）证明：平面；
（2）若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长.
17. 已知函数（，且）.
（1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值；
（2）若，求的取值范围.
18. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
19. 设，集合（为向量），若，定义.
（1）若，且，写出所有的；
（2）若，且，设满足的的个数为，求的值；