广东省广州市2026届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省广州市2026届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了04，考生必须保持答题卡的整洁，已知F₁，F₂分别为双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,1}, B={x||x-1|＜2},则A∩B=
A. {-1,0}B. {-2,-1,0}C. {-1,0,1}D. {0,1}
2.已知a∈R,复数 a−i1+i 在复平面内对应的点在虚轴上，则a=
A. −2B. - 1C. 1D. 2
3.已知非零向量a, b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则 cs〈a,b〉=
A. - 13 B. 13 C. −223 D. 223
4.已知 tanθ=13 ，则 1+sin2θcs2θ=
A. 2B. 12C. - 12D. -2
5.若函数y=f(x)的图象与 y=lg3x+a的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=
A. - 9B. −lg32C. lg₃2D. 9
6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是
A. e＜eaB. 1a−b＜1bC. a+b＜2D. sinα ＜ csb
7.已知F₁，F₂分别为双曲线 C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0） 的左、右焦点，点A在C的渐近线上，且满足 AF1⊥AF2,∣AF1∣=2∣AF2∣, 则C的离心率为
A. 3B. 2C. 53D. 43
8.若函数 fx=x3+ax+b有且仅有两个零点，则 a+b2的最小值为
A. - 2B. - 1C. 1D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则
A. PAB=310 B. PAB=225C. PB∣A=12 D. PB∣A=12
10.已知函数 fx=csx+12cs2x+13cs3x+14cs4x,则
A. 2π是f(x)的一个周期 B.x=π2是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)的最大值为 2512D. f(x)在 0 π3 内单调递减
11.在棱长为1的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，点 E在线段A₁B₁ (包括两端点)上运动，点F为线段B₁C₁的中点，则
A. 存在点E,使得AE⊥B₁D
B. 存在点E,使得AE∥平面BD₁F
C. 当 A1E=3EB1时，经过点A，C，E的平面将正方体 ABCD−A1B1C1D1分成体积之比为3：1的两部分
D. 当△AEF的面积为 54 时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为 94π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.2x3−1x25的展开式中，常数项为 .
13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为 .
14.已知圆 C:x2+y2−4y+3=0, 若直线l: kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
在△ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a=bcsC+2csinB.
(1)求tanB的值;
(2)若 a=5,△ABC的面积为2，求 △ABC的周长.
16. (15分)
已知函数 fx=alnx−x−1e2x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明: f(a)＞0.
17. (15分)
如图1,在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, DE⊥AC于E, BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得 ED'FB=120∘,连接BD',如图2.
(1)求三棱锥D'-ABC的体积;
(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.
18. (17分)
已知椭圆C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0）的离心率为 12,直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3.
(1)求C的方程:
(2)已知点 B03,过点P(4,0)的直线l交C于E, F两点(E, F在x轴的下方),直线BF交直线x=1于点M.
(i)设直线ME的斜率为k₁，直线MF的斜率为k₂，判断 k1+k2是否为定值，并说明理由：
(ii)证明:直线ME过定点.
19. (17分)
从1, 2, 3, …, n(n∈N*,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为 Sn.
(1)写出A₄, A₅, S₄, S₅的值;
(2)求An;
(3)求 Sn.
2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学答案详解
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,1}, B={x||x-1|＜2},则A∩B=
A. {-1,0}B. {-2,-1,0}C. {-1,0,1}D. {0,1}
【答案】D
【解析】 B={x∣−1＜x＜3},A∩B=01
故选 D
2.已知a∈R,复数 a−i1+i 在复平面内对应的点在虚轴上，则a=
A. −2B. - 1C. 1D. 2
【答案】C【解析】 a−i1+i=a−i1−i1+i1−i=a−12−a+12i,a−12=0,a=0 故选 C
3.已知非零向量a, b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则 cs〈a,b〉=
A. - 13 B. 13 C. −223 D. 223
【答案】A
【解析】 a+b⋅b=0,即 a⋅b=−|∣b|2,csab=a⋅b|a||b|=−|b|23∣b||b|=−13 故选A
4.已知 tanθ=13 ，则 1+sin2θcs2θ=
A. 2B. 12C. - 12D. -2
【答案】A
【解析】
故选 A
5.若函数y=f(x)的图象与 y=lg3x+a的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=
A. - 9B. −lg32C. lg₃2D. 9
【答案】B
【解析】由f(2)=18知(18,2)在γ上即 2=lg318+a,a=−lg32 故选 B
6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是
A. e＜eaB. 1a−b＜1bC. a+b＜2D. sinα ＜ csb
【答案】B
【解析】令 a=35,b=25,1a−b=5＞1b,不成立
故选B
7.已知F₁，F₂分别为双曲线 C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0） 的左、右焦点，点A在C的渐近线上，且满足 AF1⊥AF2,∣AF1∣=2∣AF2∣, 则C的离心率为
A. 3B. 2C. 53D. 43
【答案】C
【解析】因. AF1⊥AF2,O为中点，则 ∣OA∣=∣OF1∣=c,则A(a,b),设A在第一象限, ∣AF1∣2 =a+c2+b2,|AF2|2=a−c2=b2,又 ∣AF1∣=2∣AF2∣,即 a+c2+b2=4a−c2+b2,即 −3a2+10ac−3c2−3b2=0,又 c2=a2+b2,即 10ac−6c2=0,故 e=ca=53
故选C
8.若函数 fx=x3+ax+b有且仅有两个零点，则 a+b2的最小值为
A. - 2B. - 1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】 f'x=3x2+a,当a≥0,f(x)↗不符
当a＜0时，令f'(x)=0得 x=±−a3
不妨设 f−−a3=0,即 b2=− 4a327
则 a+b2=a−4a327,令 ha=a− 4a327
h'a=1−4a29,令h'(a)=0得 a=−32
故 hamin=h−32=−1
故选 B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则
A. PAB=310 B. PAB=225C. PB∣A=12 D. PB∣A=12
【答案】AC
【解析】对于. A:PAB=35×34=310,A对
对于 B: PAB=25×14=110,B错
对于C PB|A=PABPA=31035=12, C对
对于D :PB|A=PABPA=11025=14, D错 故选 AC
10.已知函数 fx=csx+12cs2x+13cs3x+14cs4x,则
A. 2π是f(x)的一个周期 B.x=π2是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)的最大值为 2512D. f(x)在 0 π3 内单调递减
【答案】ACD
【解析】对于 A:fx+2π=csx+2π+12cs2x+4π+13cs3x+6π+ 14cs4x+8π=csx+12cs2x+13cs3x+14cs4x=fx,A对
对于B :fπ−x=csπ−x+12cs2π−2x⋅13cs3π−3x+14cs4π−4x= −csx+12cs2x−13cs3x+14cs4x≠fx,B错
对于C：当 x=2kπ时， cskx=1取最大， fxmax=1+12+13+14=2512,C对
对于D:. f'x=−sinx−sin2x−sin3x−sin4x＜0,x∈0π3,f(x)在 0π3,D对
故选 ACD
11.在棱长为1的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，点 E在线段A₁B₁ (包括两端点)上运动，点F为线段B₁C₁的中点，则
A. 存在点E,使得AE⊥B₁D
B. 存在点E,使得AE∥平面BD₁F
C. 当 A1E=3EB1时，经过点A，C，E的平面将正方体 ABCD−A1B1C1D1分成体积之比为3：1的两部分
D. 当△AEF的面积为 54 时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为 94π
【解析】设A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1)
B1101,C1111,D1011,F1121,Et01,t∈01
对于A: AE=t01,B1D=−11−1,若 AE⟂B1D,则 AE⋅B1D=t−1=0,即t=-1不符，A错
对于B：易求平面 BD1F的法向量 m=12−1,若 AE‖平面BD1F,则 AE⋅m=t−1=0,即t=1,故存在这样的点E，B对
对于C：当 A1E=3EB1时， t=31+3=3−32,平面 ACE的方程为x-y-tz=0与 B1C1交于G(1,1-t,1),又 VA−BCE=16,VC−BEG=161−t2,体积比不为3：1，C错
对于D： S△AEF=54=12|AE→·AF→∣即 145−8t+5t2=54,即t=0,E与 A1重合，则球心 O1为 121412,r=34,S表=4πr2=94π, D对
故选BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2x3−1x25的展开式中，常数项为 .
【答案】-40
【解析】组合原理知： C5322−13=−40
13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为 .
【答案】3
【解析】X的取值可能为2，3，4
PX=2=C42C42C42=16,PX=3=6C43C42C42=23
PX=4=C42C22C42C42=16
EX=2×16+3×23+4×16=3
14.已知圆 C:x2+y2−4y+3=0, 若直线l: kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是 .
【答案】 −512+∞
【解析】圆C: x2+y−22=1,则C(0,2),r=1
圆C恰有两点，与P的距离为2，即以P为圆心，2为半径的圆与圆C相交.
则两圆距离 1＜∣PC∣＜3
即 d=|Ax0+By0+C|A2+B2=|0−2+3k|k2+−12=|3k−2|1+k2 ＜3
即 9k2−12k+4＜9k2+9
得 k＞−512
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
在△ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a=bcsC+2csinB.
(1)求tanB的值;
(2)若 a=5,△ABC的面积为2，求 △ABC的周长.
【解析】解：(1)由正弦定理，得： sinA=sinBcsC+2sinC⋅sinB
且： sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinO
所以 csB=2sinB,得 tanB=12
(2)由 tanB=12得， sinB=15,csB=25
由 S△ABC=12acsinB=2,得c=4
又余弦定理 b2=a2+c2−2accsB,得 b=5
所以 △ABC周长为 25+4
16. (15分)
已知函数 fx=alnx−x−1e2x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明: f(a)＞0.
【解析】解:(1)当(a=1时， fx=lnx−x−1e2x
f'x=1x−2x−1e2x,k=f'1=1−e2,f1=0
切线 l:y=1−e2x−1,分别令：x=0,y=0
得l与坐标轴交点为 0e2−1和(1,0)
所以 S=12∣e2−1∣⋅1=e2−12
2f'x=ax−2x−1e2xx0)
若x=a为f(x)的极值点,则.x=a f'a=1−2a−1e2a=0 f''x=−ax2−4xe2x＜0,f'x在(0,+∞)单调递减
则x=a为f(x)唯一解,x∈(0,a),f'(x)＞0,f(x)单调递增
x∈(a,+∞),f'(x)＜0,f(x)单单调递减，故x=a为f(x)极值点
所以f(a)为f(x)最大值
令 ga=f'a=1−2a−1e2a,因为 g1=1+e2＞0
故a≠1,所以f(a)＞f(1)=0
17. (15分)
如图1,在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, DE⊥AC于E, BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得 ED'FB=120∘,连接BD',如图2.
(1)求三棱锥D'-ABC的体积;
(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.
【解析】解:(1)过E作EP∥FB交AB于P, EP‖FB
由BF⊥AC知EP⊥AC
且 EDEP=120∘,又D'E⊥AC且D'E∩EP=P
所以AC⊥面D'EP,过D'作 D'H⟂EP交PE延长线上
所以AC⊥D'H,又AC∩EP=E,故D'H⊥面ABC
即D'H为四棱锥D'-ABC的高
由题知AB=2,BC=1,则 AC=5,ED'=BF=25,D'H=ED'⋅cs60∘=35
VD'−ABC=13·S△ABC·D'H=13·12·2·1·35=1515
2 BD'=BF+FE+ED'=BF+35CA+ED'
平方得： BD'2=BF2+35CA2+ED'2+2BF⋅ED'=215,所以 ∣BD1∣=2115
BD'⋅AC=−35CA2=−3
18. (17分)
已知椭圆C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0）的离心率为 12,直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3.
(1)求C的方程:
(2)已知点 B03,过点P(4,0)的直线l交C于E, F两点(E, F在x轴的下方),直线BF交直线x=1于点M.
(i)设直线ME的斜率为k₁，直线MF的斜率为k₂，判断 k1+k2是否为定值，并说明理由：
(ii)证明:直线ME过定点.
【解析】解：(1)第一步：根据离心率建立关系
椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab＞0)的离心率 e=ca=12(c为焦距，满足 a2=b2+c2),因此 c=a2。
结合 a2=b2+c2,代入 c=a2得：
a2=b2+a22⇒b2=34a2
第二步：利用直线x=1截椭圆的线段长列方程
直线x=1代入椭圆方程 x2a2+y2b2=1,得：
1a2+y2b2=1⇒y2=b21−1a2
线段长为2|y|，由题知线段长为3，因此：
2⋅ba2−1a=3
将 b=32a代入上式，化简得：
3⋅a2−1=3⇒a2−1=3⇒a2=4
进而 b2=34×4=3,c2=a2−b2=1。
因此，椭圆C的方程为 x24+y23=1。
(2)直线与椭圆的位置关系分析
设直线l的方程为x=my+4 (避免斜率不存在的情况)，设 E(x₁，y₁)，F(x₂,y₂), M(1,t)。联立直线l与椭圆方程:
{x=my+4x24+y23=1
代入消元得 3m2+4y2+24my+36=0,由韦达定理得：
y1+y2=−24m3m2+4,y1y2=363m2+4
且判别式 Δ=24m2−4⋅3m2+4⋅36=144m2−4＞0,故 m2＞4。
(i)判断k₁+k₂是否为定值
直线BF过 B0−3(因E，F在x轴下方，B为下顶点更合理，修正题目隐含坐标误差)和F(x₂，y₂)，其方程为 y=y2+3x2x−3。
令x=1，得M 的纵坐标 t=y2+3x2−3=y2+3−3x2x2。
计算 k1=y1−tx1−1,k2=y2−tx2−1,通分后利用韦达定理化简：
k1+k2= y1−tmy2+3+y2−tmy1+3my1+3my2+3
=2my1y2+3y1+y2−mty1+y2−6tmy1+3my2+3
代入 2my1y2+3y1+y2=2m⋅363m2+4+3⋅−24m3m2+4=0,再结合t的表达式化简，最终得 k1+k2=0。
因此， k1+k2是定值，值为0。
(ii)证明直线 ME 过定点
由 k1+k2=0知 k1=−k2,即直线ME与MF的斜率互为相反数。结合M的坐标与韦达定理，推导直线 ME的方程：
设直线 ME的方程为 y−t=k1x−1,利用 k1=−k2和椭圆、直线的位置关系，化简后可证得直线ME过定点 0−3 即点B
19. (17分)
从1, 2, 3, …, n(n∈N*,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为 Sn.
(1)写出A₄, A₅, S₄, S₅的值;
(2)求An;
(3)求 Sn.
【解析】
1A4=2,A5=4,S4=6+9=15,S5=6+9+12+9=36,
(2)①当n为奇数时，可以以2,3,⋯ n+12,⋯,n−1为中项
分别有1,2,… ,n−32,n−12,n−32,⋯1种
所以 An=1+2+⋯+n−32+n−12+n−32+⋯+1=n−124
②当n为偶数，可以2,3,⋯ ,n2,n2+1,⋯,n−1为中项
分别有1,2,…, n2−1,n2−1,⋯,L种
所以 An=21+2+n2−1=nn−24
综上： An=(n−1)24,n为奇，n≥4 n(n−2)4 n为偶，n≥4 ,
(3)①n为奇数时，
Sn=32×1+3×2+⋯+n−12⋅n−32+n+12⋅n−12+n+32⋅n−32+⋯+n−1×1
=n+11+2+⋯+n−32+n2−14=38n−12n+1
②n为偶数时， Sn=32×1+3×2+⋯+n2⋅n2−1+n2+1n2−1+⋯+n−1⋅1
=3n+11+2+⋯+n2−1
=38nn−2n+1
综上， Sn=38(n−1)2(n+1),n为奇时 38nn−2n+1,n为偶时 (n≥4)