广东省广州市2025届高三下学期综合测试（二）（二模）数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 5 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题
卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 的元素个数为（ ）
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 已知复数 满足 ，则 的最小值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强（单位： ）.轻柔音乐 声
强一般在 之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 24 B. C. D.
5. 已知 ，则 （ ）
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A. B. C. 2 D. 3
6. 已知函数 若函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 左，右焦点分别为 ，过 的直线与 相交于 两点，且
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 在 上 所有极值点从小到大依次记为 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 一组成对样本数据 的散点位于一条直线附近，它的样本相关系
数 （其中 ），由最小二乘法求得经验回归方程
（其中 ），则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则成对数据 的样本相关系数 等于
C. 若 ，则成对数据 样本相关系数 大于
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D. 若 ，则成对数据 的经验回归方程
10. 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称
为三角形的“欧拉线”.若 的三个顶点坐标分别为 ， ，其“欧拉线”为 ，圆
，则（ ）
A. 过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为 4
B. 若直线 被圆 截得的弦长为 2，则
C. 若圆 上有且只有两个点到 的距离都为 1，则
D. 存在 ，使圆 上有三个点到 的距离都为 1
11. 已知 是球 的球面上两点， 为该球面上的动点，球 的半径为 4， ，二面角
的大小为 ，则（ ）
A. 是钝角三角形
B. 直线 与平面 所成角为定值
C. 三棱锥 的体积的最大值为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 （ ，且 ）是偶函数，且 ，则 ______.
13. 一个袋子里有大小和质地相同的 4 个球，标号为 1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取 1 个球，
共取 4 次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有 3 个不同整数的概率为______.
14. 在平面四边形 中， ，若 的面积是 的
面积的 2 倍，则 的长度为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设 为数列 的前 项和，且 是 和 8 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
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16. 如图，直四棱柱 的底面 是菱形， 为锐角， 分别为棱 的
中点，点 在棱 上，且 ，点 在直线 上.
（1）证明： 平面 ；
（2）若直四棱柱 的体积为 ，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求
的长.
17. 已知函数 （ ，且 ）.
（1）若 ，直线 与曲线 和曲线 都相切，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
18. 已知双曲线 的右焦点 到 的一条渐近线的距离为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在 的右支上，过点 作圆 的两条切线，一条与 的左支交于点 ，另一条
与 的右支交于点 （异于点 ）.
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）当 的面积最小时，求直线 和直线 的方程.
19. 设 ，集合 （ 为向量），若
，定义 .
（1）若 ，且 ，写出所有的 ；
（2）若 ，且 ，设满足 的 的个数为 ，求 的值；
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（3）从集合 中任取两个不同的向量 ，记 ，求 的分布列与数学期望.
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