湖南省衡阳市衡阳县第三中学2025~2026学年高一上册第一次月考数学试卷

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这是一份湖南省衡阳市衡阳县第三中学2025~2026学年高一上册第一次月考数学试卷，共5页。
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的选项涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，定义域为的是（）
A. B. C. D.
3. 已知是空间内两个方向相反向量，则下列结论一定成立的是（）
A. B. 且C. D.
4. 往一个边长为2的正方体框架（6个面镂空只保留棱，棱的粗细忽略不计）内吹起一个气球（假设气球为球形），则该气球的最大体积为（）
A. B. C. D.
5. 已知实数a，b满足，，则的范围是（）
A. B. C. D.
6. A为直线：上一点，直线经过点且与垂直，点B在上移动，则AB的最短距离为（）
A. B. C. 1D. 0
7. 如图所示的正方体中，点M为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（）

A. B. C. D.
8. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，点M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点，则Q到平面MND的距离为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或者三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例给分，有选错的得0分．
9. 正实数a，b满足，则的取值可能为（）
A. 0B. C. 4D.
10. 某次数学月考一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（）
A. 甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B. 乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C. 丙同学选择至少两个选项，能得分概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D. 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
11. 用一个平面去截正方体，所得截面图形不可能是（）．
A. 直角三角形B. 直角梯形C. 正六边形D. 正五边形
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______．
13. 如图，在中，且D点满足，，则______．

14. 如图绘制有函数部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求的周长．
16. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
17 平面内两条直线：；：．
（1）若，求m的取值范围；
（2）证明：无论m取何值，直线都恒过一个定点．
18. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值．
（1）60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数；
（2）求该组数据的众数和第一四分位数；
（3）在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率．
19. 如图，在三棱台中，平面平面，，．

（1）证明；
（2）求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．